a là nguyên sơ nếu r(a) là cực đại

Member_Of_AMC · 24-04-2012, 11:05 AM

Đây là mệnh đề 4.2 trong sách Introduction to commutative algebra của Atiyah và Macdonald.
Chứng minh trong sách như sau
Đặt $r\left( a \right) = m $. Lớp của $m $ trong $A/a $ là căn luỹ linh của $A/a $, suy ra $A/a $ chỉ có một ideal nguyên tố duy nhất. Vì vậy, mỗi phần tử của $A/a $ hoặc khả nghịch hoặc luỹ linh. Và do đó, mỗi ước của 0 trong $A/a $ đều luỹ linh.
Em không hiểu chỗ đánh dấu đó ạ. Mong các anh giải thích giùm

Thesoulofrock · 24-04-2012, 11:53 AM

Xin lỗi bạn, mình nhầm lẫn giữa quotient với localization nên viết linh tinh lúc trước. Hy vọng lần này ổn hơn.

Suppose that $\overline{\mathfrak{p}} $ is a prime ideal in $A/a $. We then have its preimage $ \mathfrak{p} $ is a prime ideal in $A $ containing $a $. Thus $m=\sqrt{a}\subset\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p} $ since $\mathfrak{p} $ is prime. By the maximality of $m $, we have then $\mathfrak{p}=m. $ Thus $m+a $ is the only prime ideal in $A/a $. Hence, $m+a $ is the nillradical of $A/a $, so that if $x\in m+a $ then $x $ is nilpotent.

If $x\notin m+a $ and is not a unit, then there is a maximal ideal $m'\subset A/a $ containing $x $ by Zorn's lemma, a contradiction to the uniqueness of $m+a $. Hence, if $x\notin m+a $ then $x $ is a unit.

24-04-2012, 11:05 AM	#1
Member_Of_AMC +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Đến từ: Sài Gòn Bài gởi: 266 Thanks: 242 Thanked 156 Times in 72 Posts	a là nguyên sơ nếu r(a) là cực đại Đây là mệnh đề 4.2 trong sách Introduction to commutative algebra của Atiyah và Macdonald. Chứng minh trong sách như sau Đặt $r\left( a \right) = m $. Lớp của $m $ trong $A/a $ là căn luỹ linh của $A/a $, suy ra $A/a $ chỉ có một ideal nguyên tố duy nhất. Vì vậy, mỗi phần tử của $A/a $ hoặc khả nghịch hoặc luỹ linh. Và do đó, mỗi ước của 0 trong $A/a $ đều luỹ linh. Em không hiểu chỗ đánh dấu đó ạ. Mong các anh giải thích giùm __________________ Nothing to lose. The man who has lost everything is capable of anything.

24-04-2012, 11:53 AM	#2
Thesoulofrock +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Cambridge, UK Bài gởi: 156 Thanks: 1 Thanked 73 Times in 45 Posts	Xin lỗi bạn, mình nhầm lẫn giữa quotient với localization nên viết linh tinh lúc trước. Hy vọng lần này ổn hơn. Suppose that $\overline{\mathfrak{p}} $ is a prime ideal in $A/a $. We then have its preimage $ \mathfrak{p} $ is a prime ideal in $A $ containing $a $. Thus $m=\sqrt{a}\subset\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p} $ since $\mathfrak{p} $ is prime. By the maximality of $m $, we have then $\mathfrak{p}=m. $ Thus $m+a $ is the only prime ideal in $A/a $. Hence, $m+a $ is the nillradical of $A/a $, so that if $x\in m+a $ then $x $ is nilpotent. If $x\notin m+a $ and is not a unit, then there is a maximal ideal $m'\subset A/a $ containing $x $ by Zorn's lemma, a contradiction to the uniqueness of $m+a $. Hence, if $x\notin m+a $ then $x $ is a unit. __________________ Rằng xưa có gã từ quan Lên non tìm động hoa vàng ngủ say thay đổi nội dung bởi: Thesoulofrock, 25-04-2012 lúc 12:35 AM