Chứng minh song song

[thephuong]

Nguyên văn bởi arsenal1000

Còn bài cũng na ná bài 4.
Bài 5Cho tứ giác $ABCD $ nội tiếp $(O) $.AD cắt BC ở E. Gọi $(O_1), (O_2) $ lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp tam giác EDC và EAB. Hai đường tròn này giao nhau ở điểm thứ hai là M.
Chưng minh:$O_1O_2\parallel OM $.

Anh thephuong có bài song song nào kho khó, bày cho em vài bài.Em cảm ơn nhiều nhiều.

Bài này khá quen thuộc, mình biết khá nhiều lời giải cho bài toán này. Đây là một cách.
Thấy rằng các tam giác $EAB$ và $ECD$ đồng dạng ngược hướng và chung góc $A$. Hơn nữa trong một tam giác đường cao tại một đỉnh và đường thẳng nối đỉnh đó với tâm đường tròn ngoại tiếp đối xứng nhau qua phân giác trong đỉnh đó nên $EO_2 \perp AB; EO_1 \perp CD$. Hơn nữa $O_1O \perp AB$; $O_2O \perp CD$ nên $O_1O \| EO_2; EO_1 \| O_2O$.
Từ đó thu được $EO_1OO_2$ là hình bình hành do đó $EO$ và $O_1O_2$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mặt khác $O_1O_2$ đi qua trung điểm $EM$ nên đường thẳng $O_1O_2$ chứa đường trong bình song song $MO$ của tam giác $EMO$. Như vậy $O_1O_2 \| MO$.
P.s bài này thực chất là một bài từng thi IMO khá lâu. Bài toán trên có thể giải bằng định lý Miquel.
@arsenal: mình biết nhiều lắm mà mình ko nhớ ra được, khi nào nhớ mình sẽ post
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[arsenal1000]

Bài 5Cho hai tam giác cân$ABC,ADE $ sao cho $D,E $ nằm trên cạnh $BC $(D nằm giữa B và E). $J $ là một điểm bất kì trong tam giác ABC. Gọi $M,N,P,Q $ lần lượt là chân các đường cao hạ từ J xuống AD,AE,AB,AC. Chứng minh: $MN\parallel PQ $

Bài 6Cho hai hình bình hành $ABCD, AMNF $ sao cho M nằm trên BC, D nằm trên NF, có tâm lần lượt là $I,J $.Qua $M $ kẻ $MP\parallel AB $( P thuộc AD).Qua $D $, kẻ $DQ\parallel AF $. Chứng minh: $PQ \parallel IJ $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Nguyên văn bởi arsenal1000

Bài 5Cho hai tam giác cân$ABC,ADE $ sao cho $D,E $ nằm trên cạnh $BC $(D nằm giữa B và E). $J $ là một điểm bất kì trong tam giác ABC. Gọi $M,N,P,Q $ lần lượt là chân các đường cao hạ từ J xuống AD,AE,AB,AC. Chứng minh: $MN\parallel PQ $

Bài 5 ý tưởng khá đơn giản. Thấy rằng $A, P, M, J, N, Q$ thuộc một đường tròn. Đồng thời phân giác các $\angle{MAN}$ và $\angle{PAQ}$ trùng nhau. Do đó các cung $PQ$ chứa $J$ và $MN$ chứa $J$ có chung điểm chính giữa cung. Do đó chúng song song
Bài 6 trùng điểm trên hình kìa em, edit đi anh giải
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoanghai_vovn]

Bài 6: Gọi L,K là giao điểm của QD và MP, CD và MN. Chứng minh hai tam giác LPQ và KCN bằng nhau (cạnh góc cạnh_dựa vào các đường song song và cạnh hình bình hành) suy ra các góc bằng nhau mà IJ song song CN và ta có đpcm.
------------------------------
Gọi L,K là giao điểm của QD với MP, CD với MN, chứng minh hai tam giác LPQ và KCN bằng nhau(c-g-c)_dựa vào tính chất song song và các hình bình hành suy ra các góc bằng nhau nên có PQ song song CN. Mà IJ song song CN ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Bài 6 đơn giản lắm bạn à, dựa vào tính bằng nhau của hai tam giác $QPN$ và $NCD$ thì suy ra $QP \| CN$ mà $CN \| IJ$ là ra thôi (các điểm như hình vẽ nhá )
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hien123]

Nguyên văn bởi arsenal1000

Mình còn bài nay hay lắm, các bạn làm thử
Bài 2 Cho hình thang $ABCD $ (AB song song với CD). Gọi (O1) là đường tròn tiếp xúc với AB,BC,DA, Gọi (O2) là đường tròn tiếp xúc với BC,CD,DA. Từ D, kẻ tiếp tuyến t1 tới (O1). Từ B, kẻ tiếp tuyến t2 tới (O2). Chứng minh: t1 song song với t2

Bài này là China TST năm nào đó.
Lời giải. Gọi $F,N$ theo thứ tự là giao điểm của $t_{2}$ với $BC,BA$; $E,M$ theo thứ tự là giao điểm của $t_{1}$ với $DA,DC$; $K$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Bằng mọt số phép cộng trừ đoạn thẳng đơn giản, đẽ thấy $$NB+DK=KB+DN$$ $$BK+BM=DM+DK$$ Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta có $$DM+DN=BM+BN$$ Mặt khác gọi $N^{'}$ là điểm thuộc $NB$ sao cho $MD=BN^{'}$ thì kết hợp với kết quả trên ta sẽ có $DN^{'}+NN^{'}=DN$, suy ra $N\equiv N^{'}$ hay tứ giác $MDNB$ là hình bình hành. Do đó $t_{1}$//$t_{2}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]