Đồng quy và thẳng hàng

thuylinhk41 · 18-05-2009, 05:37 PM

Cho tam giác $ABC $ nội tiếp đường tròn $(O) $. Đường tròn $(O_a) $ tiếp xúc với $AB, AC $ và tiếp xúc trong với $(O) $. $A_1\equiv (O_a)\cap (O) $. Các điểm $B_1, C_1 $ xác định tương tự.
1. Chứng minh rằng $AA_1, BB_1, CC_1 $ đồng quy
2. Gọi $I $ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC $. Gọi $O_1, O_2, O_3 $ là tâm các đường tròn $(AIA_1), (BIB_1), (CIC_1) $. Chứng minh rằng $O_1, O_2, O_3 $ thẳng hàng

**Quân -k47DHV** · 29-05-2009, 05:32 PM

Cái ni có nhìu trên dd ta rùi, tư tưởng là dùng cái tâm I thuộc đường nối tiếp điểm.

Trà_Mi. · 29-05-2009, 06:31 PM

em đã chứng minh đc tâm I nằm trên đường thẳng nối hai tiếp điểm. anh Quân nói tiếp ý tưởng xem

**Quân -k47DHV** · 29-05-2009, 07:08 PM

ừm thực ra là hơi dài nhưng mà kệ đã theo hướng này nhá:
khi đã co I thuộc rùi thì có cái bổ đề: d_A qua I và vuông góc với IA cắt BC tai A' tương tự cho B' , C' thì A',B',C' thẳng hàng. Từ đây thì em dùng cm câu 1.

**Quân -k47DHV** · 07-06-2009, 05:59 PM

câu b thì có câu a rồi : dùng cái điểm giao của 3 điểm của câu a là ổn và giao của 2 đường tròn

**Quân -k47DHV** · 08-06-2009, 10:42 AM

Trích:

Nguyên văn bởi thanhtra_dhsp

Spam kinh the. Cau a thi noi lam gi. Cai nay con co ca ket qua tong quat hon trong sach cua thay Minh Ha

Nếu câu a nói làm gì thì câu b càng nói để làm gì

.Chú này toàn nói bựa. đúng là có Spam thật :hornytoro: nếu có gì thắc mắc thì mình sẽ post lời giải sau

**Quân -k47DHV** · 08-06-2009, 11:16 AM

mang tiếng Spam rầy quá!:beatbrick:
lời giải:
a, gọi C1,B1 lần lượt là điểm t/x của$ O_a $với các cạnh AB,AC. khi đó C1B1 đi qua I .Gọi A' là giao của B1C1 với BC theo như kq đã biết thì A',B',C, thẳng hàng . mặt khác $\frac{sin \hat BAA1 }{sin \hat CAA1} = \frac{A1B}{A1C}. $tương tự thì ta có đpcm
b,nếu như gọi K là giao điểm của AA1, BB1, CC1 thế thì ta sẽ dựng K' sao cho $KI.KK'=KA.KA1 $rõ ràng $KA.KA1=KB.KB1=KC.KC1 $và $= KI.KK' $ nên IK chính là trục đẳng phương của 3 đuờng tròn $O_a,O_b,O_c $. và vì thế tâm của chúng thẳng hàng

nbkschool · 08-06-2009, 02:12 PM

Cách giải khác cho câu a:
Gọi $A' $ là điểm chính giữa cung BC không chứa A,$A'' $ là điểm chính giữa cung BC chứa A,tương tự cho $B',C',B'',C'' $.Theo một kết quả quen thuộc thì $A_1,I,A'' $ thẳng hàng tương tự cho 2 bộ điểm còn lại.Đặt $X= CA'' \cap AC'' $,$P=AA_1 \cap CC_1,Q=AA_1 \cap BB_1 $.Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm $AA_1 A'' CC_1 C'' $ ta có $P,I,X $ đồng quy.Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm $AA' A'' CC' C'' $ ta có $I,O,X $ đồng quy từ đó suy ra $P \in IO $ chứng minh tương tự ta có $Q \in IO $ vì $P,Q $ cùng thuộc 2 đường thẳng phân biệt $IO,AA_1 $ nên chúng trùng nhau
Suy ra đpcm.
PS:Cách giải này có thể khẳng định điểm đồng quy ở câu a thuộc $OI $ và 3 đường tròn ở câu b có cùng trục đẳng phương $OI $.
Bạn thanhtra có thể post kết quả tổng quát trong sách thầy Minh Hà lên đây đc ko ?

thanhtra_dhsp · 08-06-2009, 09:31 PM

Dùng nghịch đảo là cách thứ ba

thanhtra_dhsp · 15-06-2009, 12:16 PM

Gọi $A_2, B_2, C_2 $ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC $ với $BC, CA, AB $. $H $ là trực tâm tam giác $A_2B_2C_2 $.
Gọi $A_3, B_3, C_3 $ là trung điểm $B_2C_2, C_2A_2, A_2B_2 $. $A_4, B_4, C_4 $ là trung điểm $HA_2, HB_2, HC_2 $.
Xét phép nghịch đảo tâm $I $, phương tích $r^2 $.
$I^{r^2}_I: A\mapsto A_3, (O_a)\mapsto (A_3, r) $ suy ra $I^{r^2}_I: A_1\mapsto A_4 $. Do đó $I^{r^2}_I:AA_1\mapsto (A_3IA_4), (AIA_1)\mapsto A_3A_4 $.
Mặt khác, dễ dàng chứng minh được $(A_3IA_4), (B_3IB_4), (C_3IC_4) $ cắt nhau tại một điểm và $A_3A_4, B_3B_4, C_3C_4 $ đồng quy. Từ đây, ta có đ.p.c.m

nbkschool · 15-06-2009, 08:10 PM

Mà cũng chẳng cần cao xa thế để làm gì.:hornytoro:
Gọi $M $ là tâm vị tự ngoài của hai đường tròn $(I) $ và $(O) $.Áp dụng định lý Monge d'Alembert cho 3 đường tròn $(O),(I),(O_a) $ ta có $A,M,A_1 $ thẳng hàng,tương tự như vậy ta suy ra được $AA_1,BB_1,CC_1 $ đồng quy tại $M $.
PS:Ngoài ra M là còn là điểm liên hợp đẳng giác của điểm Nagel,chứng minh kết quả này cũng khá thú vị.

hocvienak6 · 15-06-2009, 09:50 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Trà_Mi.

Monge d'Alembert là định lý gì vậy bạn ??. nêu rõ hơn được khồng?

Hình như là
Cho 3 đường tròn ( I_1; R_1) , (I_2;R_2) , (I_3; R_3)
là 3 đường tròn không đồng tâm và không bằng nhau
Khi đó các tâm vị tự ngoài của từng cặp đường tròn sẽ thẳng hàng
:hornytoro::hornytoro:

Trà_Mi. · 15-06-2009, 11:51 PM

Điểm liên hợp đẳng giác có nghĩa là gì thế ạ?

18-05-2009, 05:37 PM	#1
thuylinhk41 +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2009 Đến từ: Akatsuki Organization Bài gởi: 6 Thanks: 1 Thanked 10 Times in 5 Posts	Đồng quy và thẳng hàng Cho tam giác $ABC $ nội tiếp đường tròn $(O) $. Đường tròn $(O_a) $ tiếp xúc với $AB, AC $ và tiếp xúc trong với $(O) $. $A_1\equiv (O_a)\cap (O) $. Các điểm $B_1, C_1 $ xác định tương tự. 1. Chứng minh rằng $AA_1, BB_1, CC_1 $ đồng quy 2. Gọi $I $ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC $. Gọi $O_1, O_2, O_3 $ là tâm các đường tròn $(AIA_1), (BIB_1), (CIC_1) $. Chứng minh rằng $O_1, O_2, O_3 $ thẳng hàng __________________ Konan [Geometry]

29-05-2009, 05:32 PM	#2
Quân -k47DHV +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Đại Học Y Hà Nội Bài gởi: 421 Thanks: 5 Thanked 105 Times in 80 Posts	Cái ni có nhìu trên dd ta rùi, tư tưởng là dùng cái tâm I thuộc đường nối tiếp điểm. __________________ LƯƠNG Y KIÊM TỪ MẪU

29-05-2009, 07:08 PM	#4
Quân -k47DHV +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Đại Học Y Hà Nội Bài gởi: 421 Thanks: 5 Thanked 105 Times in 80 Posts	ừm thực ra là hơi dài nhưng mà kệ đã theo hướng này nhá: khi đã co I thuộc rùi thì có cái bổ đề: d_A qua I và vuông góc với IA cắt BC tai A' tương tự cho B' , C' thì A',B',C' thẳng hàng. Từ đây thì em dùng cm câu 1. __________________ LƯƠNG Y KIÊM TỪ MẪU

07-06-2009, 05:59 PM	#5
Quân -k47DHV +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Đại Học Y Hà Nội Bài gởi: 421 Thanks: 5 Thanked 105 Times in 80 Posts	câu b thì có câu a rồi : dùng cái điểm giao của 3 điểm của câu a là ổn và giao của 2 đường tròn __________________ LƯƠNG Y KIÊM TỪ MẪU

08-06-2009, 11:16 AM	#7
Quân -k47DHV +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Đại Học Y Hà Nội Bài gởi: 421 Thanks: 5 Thanked 105 Times in 80 Posts	mang tiếng Spam rầy quá!:beatbrick: lời giải: a, gọi C1,B1 lần lượt là điểm t/x của$ O_a $với các cạnh AB,AC. khi đó C1B1 đi qua I .Gọi A' là giao của B1C1 với BC theo như kq đã biết thì A',B',C, thẳng hàng . mặt khác $\frac{sin \hat BAA1 }{sin \hat CAA1} = \frac{A1B}{A1C}. $tương tự thì ta có đpcm b,nếu như gọi K là giao điểm của AA1, BB1, CC1 thế thì ta sẽ dựng K' sao cho $KI.KK'=KA.KA1 $rõ ràng $KA.KA1=KB.KB1=KC.KC1 $và $= KI.KK' $ nên IK chính là trục đẳng phương của 3 đuờng tròn $O_a,O_b,O_c $. và vì thế tâm của chúng thẳng hàng __________________ LƯƠNG Y KIÊM TỪ MẪU

29-05-2009, 06:31 PM	#3
Trà_Mi. +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2009 Đến từ: .....** Bài gởi: 29 Thanks: 15 Thanked 2 Times in 2 Posts	em đã chứng minh đc tâm I nằm trên đường thẳng nối hai tiếp điểm. anh Quân nói tiếp ý tưởng xem

08-06-2009, 02:12 PM	#8
nbkschool +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Đến từ: SMU Residence @Prinsep Hostel, 83 Prinsep Street, Singapore Bài gởi: 400 Thanks: 72 Thanked 223 Times in 106 Posts	Cách giải khác cho câu a: Gọi $A' $ là điểm chính giữa cung BC không chứa A,$A'' $ là điểm chính giữa cung BC chứa A,tương tự cho $B',C',B'',C'' $.Theo một kết quả quen thuộc thì $A_1,I,A'' $ thẳng hàng tương tự cho 2 bộ điểm còn lại.Đặt $X= CA'' \cap AC'' $,$P=AA_1 \cap CC_1,Q=AA_1 \cap BB_1 $.Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm $AA_1 A'' CC_1 C'' $ ta có $P,I,X $ đồng quy.Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm $AA' A'' CC' C'' $ ta có $I,O,X $ đồng quy từ đó suy ra $P \in IO $ chứng minh tương tự ta có $Q \in IO $ vì $P,Q $ cùng thuộc 2 đường thẳng phân biệt $IO,AA_1 $ nên chúng trùng nhau Suy ra đpcm. PS:Cách giải này có thể khẳng định điểm đồng quy ở câu a thuộc $OI $ và 3 đường tròn ở câu b có cùng trục đẳng phương $OI $. Bạn thanhtra có thể post kết quả tổng quát trong sách thầy Minh Hà lên đây đc ko ? __________________ "Apres moi,le deluge" thay đổi nội dung bởi: nbkschool, 08-06-2009 lúc 02:23 PM

08-06-2009, 09:31 PM	#9
thanhtra_dhsp +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Đến từ: Nazi Germany Bài gởi: 102 Thanks: 11 Thanked 122 Times in 28 Posts	Dùng nghịch đảo là cách thứ ba

15-06-2009, 12:16 PM	#10
thanhtra_dhsp +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Đến từ: Nazi Germany Bài gởi: 102 Thanks: 11 Thanked 122 Times in 28 Posts	Gọi $A_2, B_2, C_2 $ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC $ với $BC, CA, AB $. $H $ là trực tâm tam giác $A_2B_2C_2 $. Gọi $A_3, B_3, C_3 $ là trung điểm $B_2C_2, C_2A_2, A_2B_2 $. $A_4, B_4, C_4 $ là trung điểm $HA_2, HB_2, HC_2 $. Xét phép nghịch đảo tâm $I $, phương tích $r^2 $. $I^{r^2}_I: A\mapsto A_3, (O_a)\mapsto (A_3, r) $ suy ra $I^{r^2}_I: A_1\mapsto A_4 $. Do đó $I^{r^2}_I:AA_1\mapsto (A_3IA_4), (AIA_1)\mapsto A_3A_4 $. Mặt khác, dễ dàng chứng minh được $(A_3IA_4), (B_3IB_4), (C_3IC_4) $ cắt nhau tại một điểm và $A_3A_4, B_3B_4, C_3C_4 $ đồng quy. Từ đây, ta có đ.p.c.m

15-06-2009, 08:10 PM	#11
nbkschool +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Đến từ: SMU Residence @Prinsep Hostel, 83 Prinsep Street, Singapore Bài gởi: 400 Thanks: 72 Thanked 223 Times in 106 Posts	Mà cũng chẳng cần cao xa thế để làm gì.:hornytoro: Gọi $M $ là tâm vị tự ngoài của hai đường tròn $(I) $ và $(O) $.Áp dụng định lý Monge d'Alembert cho 3 đường tròn $(O),(I),(O_a) $ ta có $A,M,A_1 $ thẳng hàng,tương tự như vậy ta suy ra được $AA_1,BB_1,CC_1 $ đồng quy tại $M $. PS:Ngoài ra M là còn là điểm liên hợp đẳng giác của điểm Nagel,chứng minh kết quả này cũng khá thú vị. __________________ "Apres moi,le deluge" thay đổi nội dung bởi: nbkschool, 15-06-2009 lúc 08:41 PM

15-06-2009, 11:51 PM	#13
Trà_Mi. +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2009 Đến từ: .....** Bài gởi: 29 Thanks: 15 Thanked 2 Times in 2 Posts	Điểm liên hợp đẳng giác có nghĩa là gì thế ạ? __________________ :kiss: