$f(f(x)-f(y))=(x-y)^2f(x+y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

[Juliel]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :
$$f(f(x)-f(y))=(x-y)^2f(x+y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DenisO]

Nhận xét rằng nếu $f(x)=C$ thì suy ra $C=(x-y)^{2}C,\forall x,y\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)=0$
Xét $f$ ko là hàm hằng
Hoán vị $x,y$ thì ta có $f\left ( f(x)-f(y) \right )=(x-y)^{2}f\left ( x+y \right )=f\left (f(y)-f(x) \right )$
Do $f$ nhận giá trị trên $R$ nên $\textrm{Im}f(x)-\textrm{Im}f(y)$ cũng nhận giá trị trên $R$, từ đó $f(x)=f(-x),\forall x\in R$
Cho $y=0\rightarrow f\left ( f\left ( x \right ) \right )=x^{2}f\left ( x \right )$
Cho $x=y\rightarrow f\left ( 0 \right )=0$
Thay $y$ bởi $-y$ thì $f\left ( f(x)-f(-y) \right )=(x+y)^{2}f\left ( x-y \right ),\forall x,y$
mà $f(y)=f(-y)$ suy ra $\left ( x+y \right )^{2}f\left ( x-y \right )=\left ( x-y \right )^{2}f\left ( x+y \right ),\forall x,y$
Do đó chọn $a=\dfrac{x+y}{2},b=\dfrac{x-y}{2}$ thì ta được $a^{2}f\left ( b \right )=b^{2}f\left ( a \right ),\forall a,b\in \mathbb{R}$
Suy ra $\Rightarrow \dfrac{f\left ( a \right )}{a^{2}}=\dfrac{f(b)}{b^{2}}=c\Rightarrow f(x)=cx^{2},\forall x\neq 0$ kết hợp với $f(0)=0$ ta suy ra $f(x)=cx^{2},\forall x\in \mathbb{R}$
Thay lại ta được các nghiệm của bài toán là $f(x)=x^{2},\forall x;f(x)=0,\forall x;f(x)=-x^{2},\forall x$

Mình còn nghi ngờ lời giải này lắm ko biết có sai ở đâu ko, mọi người check giúp vậy =="
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Juliel]

Nguyên văn bởi DenisO

Nhận xét rằng nếu $f(x)=C$ thì suy ra $C=(x-y)^{2}C,\forall x,y\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)=0$
Xét $f$ ko là hàm hằng
Hoán vị $x,y$ thì ta có $f\left ( f(x)-f(y) \right )=(x-y)^{2}f\left ( x+y \right )=f\left (f(y)-f(x) \right )$
Do $f$ nhận giá trị trên $R$ nên $\textrm{Im}f(x)-\textrm{Im}f(y)$ cũng nhận giá trị trên $R$, từ đó $f(x)=f(-x),\forall x\in R$
Cho $y=0\rightarrow f\left ( f\left ( x \right ) \right )=x^{2}f\left ( x \right )$
Cho $x=y\rightarrow f\left ( 0 \right )=0$
Thay $y$ bởi $-y$ thì $f\left ( f(x)-f(-y) \right )=(x+y)^{2}f\left ( x-y \right ),\forall x,y$
mà $f(y)=f(-y)$ suy ra $\left ( x+y \right )^{2}f\left ( x-y \right )=\left ( x-y \right )^{2}f\left ( x+y \right ),\forall x,y$
Do đó chọn $a=\dfrac{x+y}{2},b=\dfrac{x-y}{2}$ thì ta được $a^{2}f\left ( b \right )=b^{2}f\left ( a \right ),\forall a,b\in \mathbb{R}$
Suy ra $\Rightarrow \dfrac{f\left ( a \right )}{a^{2}}=\dfrac{f(b)}{b^{2}}=c\Rightarrow f(x)=cx^{2},\forall x\neq 0$ kết hợp với $f(0)=0$ ta suy ra $f(x)=cx^{2},\forall x\in \mathbb{R}$
Thay lại ta được các nghiệm của bài toán là $f(x)=x^{2},\forall x;f(x)=0,\forall x;f(x)=-x^{2},\forall x$

Mình còn nghi ngờ lời giải này lắm ko biết có sai ở đâu ko, mọi người check giúp vậy =="

Mình nghĩ dòng màu đỏ chưa đúng, $f(x)-f(y)$ nhận giá trị trên $R$ không đồng nghĩa $f(x)-f(y)$ đã quét toàn bộ $R$, và điều này chỉ đúng nếu $f$ toàn ánh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DenisO]

Hmm.. cám ơn nhé giờ mình làm thế này, check tiếp giúp nha
Lấy $x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}$ sao cho $f\left ( x_{1} \right )=f\left ( x_{2} \right )$ thì từ $f(f(x))=x^{2}f\left ( x \right )$
Suy ra $x_{1}^{2}f\left ( x_{1} \right )=x_{2}^{2}f\left ( x_{2} \right )$
Từ đây nếu $f(x_{1})=f(x_{2})=0$ với mỗi $x_{1},x_{2}$ thì $f(x)=0$
Nếu $f(x) \neq 0$ thì ta có $x_{1}^{2}=x_{2}^{2}$
Từ đó thay $y$ bới $-x$ thì $f\left ( f(x)-f(-x) \right )=0=f(0)\Rightarrow \left ( f(x)-f(-x) \right )^{2}=0^{2}=0$ Suy ra $f(x)=f(-x)$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]