BĐT-Giả thiết đồng bậc

MathNMN2016 · 28-04-2016, 07:13 AM

Đây là chuỗi các bài toán tiếp theo do mình tổng hợp, và cũng như (các) bài viết trước ở:

[Only registered and activated users can see links. ]

mình sẽ tìm một cách tiếp cận, ý tưởng chung để giải.

Mong mọi người tham gia thảo luận, đóng góp ý kiến.

------------------------------
Bài toán 1:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}-z^{2}=xy. $

Chứng minh rằng:

$x^{3}+y^{3}-5z^{3}\leq -3xyz. $

------------------------------
Thảo luận cho bài toán 1, mình từng đăng 1 Topic riêng về nó, xem tại:

[Only registered and activated users can see links. ]

MathNMN2016 · 28-04-2016, 01:18 PM

Bài toán 2:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}=-xy+3yz-zx. $

Chứng minh rằng:

$\left ( x+y \right )^{3}-5\left ( y+z \right )^{3}+\left ( z+x \right )^{3}\leq -3\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right ). $

------------------------------
Đây là topic mình đã tạo để thảo luận riêng cho bài này:

[Only registered and activated users can see links. ]

, kể từ bài số 3 trở đi chúng ta sẽ thảo luận ở topic này.
------------------------------
Bài toán 3:

Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

$5\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )=6\left ( xy+yz+zx \right ) $

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\sqrt{2\left ( x+y+z \right )}-\left ( y^{2}+z^{2} \right ) $

P/S: Cảm ơn anh Galois_vn đã gợi ý cho em việc nhập chung thành 1 Topic.

MathNMN2016 · 29-04-2016, 06:40 AM

Bài toán 4:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$3z^{2}=xy+yz+zx. $

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=4\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x} \right )-\frac{2xy}{z^{2}}+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{z}. $

------------------------------
Có thành viên nào có ý tưởng cho bài toán 3 chưa ạ?

MathNMN2016 · 30-04-2016, 06:21 AM

Bài toán 5:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=-xy+2\left ( yz+zx \right ). $

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\left ( \frac{z}{x+y-z} \right )^{2}+\frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{\sqrt{xy}}{x +y}. $

------------------------------
Mong mọi người góp ý thảo luận cho bài toán 4.

MathNMN2016 · 01-05-2016, 08:26 AM

Bài toán 6:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+6z^{2}=4\left ( yz+zx \right ). $

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x^{3}}{y\left ( z+x \right )^{2}}+\frac{y^{3}}{x\left ( z+y \right )^{2}}+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{^{2}}}}{z}. $

------------------------------
Mong mọi người đóng góp ý kiến cho bài toán 5 ạ.

MathNMN2016 · 02-05-2016, 08:08 AM

Bài toán 7:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$3z^{2}=xy+yz+zx. $

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=32\left [ \left ( \frac{x}{y+3z} \right )^{3}+\left ( \frac{y}{x+3z} \right )^{3} \right ]-\frac{\sqrt{x^{2}+y^{^{2}}}}{z}. $

P/S:

Mong mọi người tham gia thảo luận cho các bài toán

.

Chúc mọi người một kỳ nghỉ lễ vui vẻ,

N.M.N 2016

Galois_vn · 02-05-2016, 08:53 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Bài toán 3:

Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

$5\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )=6\left ( xy+yz+zx \right ) $

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\sqrt{2\left ( x+y+z \right )}-\left ( y^{2}+z^{2} \right ) $

Đặt $S=x+y+z$, bằng ràng buộc $4yz \le (y+z)^2$. Ta có
$x\in \left[\frac{S}{6},\, \frac{S}{2}\right].$

$\begin{align}
P&=& \sqrt{2(x+y+z)}-(x^2+y^2+z^2)+x^2\\
&=& \sqrt{2S}- \frac{3}{8}S^2+x^2\\
&\le & \sqrt{2S}-\frac{S^2}{8}\end{align}$
Bằng cách khảo sát hàm số $h(t)=\sqrt{2t}-\frac{t^2}{8}$ với $t\in [0, \infty)$, ta thu được
h(t) đạt giá trị lớn nhất là $h(2)= 0.$

Do đó GTLN của $P$ là $0$ và đạt được khi $x=1, y=z=\frac{1}{2}.$

(Có vẻ vẫn trung thành với ý tưởng cũ!)
------------------------------

Trích:

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Bài toán 4:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$3z^{2}=xy+yz+zx. $

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=4\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x} \right )-\frac{2xy}{z^{2}}+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{z}. $

------------------------------
Có thành viên nào có ý tưởng cho bài toán 3 chưa ạ?

Vì $(y+z)(z+x)=4z^2$, ta có thể biểu diễn $P$ theo $t=\frac{S}{z}$ với $S=x+y.$
Để đơn giản biểu thức, ta "loại bỏ" số hạng $\frac{(x-y)^2}{z^2}$ nhưu sau: \[P\ge h(t):= t+\sqrt{t^2+2t-6}.\]
Hơn nữa, vì $3z^2-Sz=xy\le \frac{S^2}{4}$ nên$ t\ge 2.$
Vì $h(t)$ đồng biến trên $[2,\infty)$ nên $P\ge h(2)=2+\sqrt{2}$.
Do đó GTNN của $P$ là $2+\sqrt{2}$ và đạt được khi $x=y=z.$

(Cũng trung thành với ý tưởng cũ, biểu diễn theo $S=x+y, ``P"=xy$.)

MathNMN2016 · 03-05-2016, 08:32 AM

Bài toán 8:

Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}-z^{2}=-xy+yz+zx. $

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{\left ( x+z \right )^{2}}{2x^{2}+2xz+z^{2}}+\frac{\left ( y+z \right )^{2}}{2y^{2}+2yz+z^{2}}+\frac{xy}{\left ( x+y \right )^{2}}+\frac{xy}{x^{2}+4xy+y^{2}}. $

P/S:

Có thành viên nào có ý tưởng cho bài toán 7 chưa ạ?

MathNMN2016 · 04-05-2016, 06:39 AM

Bài toán 9:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ). $

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=x+y+z+\frac{1}{xyz}-\frac{9}{x+y+z}. $

P/S:

Bài toán 8 là một bài thú vị,

MathNMN2016 · 05-05-2016, 06:34 PM

Bài toán 10:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+10yz+zx. $

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=8xyz-\frac{3x^{3}}{y^{2}+z^{2}}. $

P/S:

Bài toán 9 có thành viên nào có ý tưởng chưa ạ?

MathNMN2016 · 06-05-2016, 05:52 AM

Bài toán 11:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$5(x^{2}+y^{2}+z^{2})=9(xy+2yz+zx). $

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{x}{y^{2}+z^{2}}-\frac{1}{(x+y+z)^{3}}. $

P/S:

Có bạn nào có lời giải cho bài toán 10 chưa ạ?

MathNMN2016 · 07-05-2016, 05:09 AM

Bài toán 12:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=10. $

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{3}{xy+yz+zx}-\frac{4}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}. $

P/S:

Mong nhận được lời giải của mọi người cho 2 bài toán 8 và 11.

Galois_vn · 07-05-2016, 09:10 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Bài toán 11:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$5(x^{2}+y^{2}+z^{2})=9(xy+2yz+zx). $

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{x}{y^{2}+z^{2}}-\frac{1}{(x+y+z)^{3}}. $

P/S:

Có bạn nào có lời giải cho bài toán 10 chưa ạ?

Bản nháp cho bài 11.

MathNMN2016 · 09-05-2016, 02:12 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Galois_vn

Bản nháp cho bài 11.

Anh xem lại giả thiết nha, thiếu mất số 5 rồi ạ.

Mấu chốt của bài toán (theo em nghĩ) nằm ở việc từ giả thiết suy ra:

$x\leq 2(y+z) $

------------------------------
Bài toán 13:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=16. $

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{xyz}. $

P/S:

Bạn nào có lời giải cho bài toán 12 chưa ạ?
------------------------------
Bài toán 14:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$(x+y-z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z})=4. $

Chứng minh rằng:

$(x^{4}+y^{4}+z^{4})(\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{y^{4} }+\frac{1}{z^{4}})\geq 2304. $

P/S:

Có thành viên nào có lời giải cho bài toán 10 và 13 chưa ạ?

Galois_vn · 09-05-2016, 10:58 PM

Trích:

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Bài toán 11:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$5(x^{2}+y^{2}+z^{2})=9(xy+2yz+zx). $

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{x}{y^{2}+z^{2}}-\frac{1}{(x+y+z)^{3}}. $

P/S:

Có bạn nào có lời giải cho bài toán 10 chưa ạ?

Trích:

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Anh xem lại giả thiết nha, thiếu mất số 5 rồi ạ.

Mấu chốt của bài toán (theo em nghĩ) nằm ở việc từ giả thiết suy ra:

$x\leq 2(y+z) $

Khi đang chuẩn bị sửa lỗi này, trang web này tỏ ra ngáo ộp. Thế là, sau vài ngày, nó mới bớt ngu ra.

Làm giống bài 3.
Chuyển sang ba biến $x, S=x+y+z, P'=yz.$
Ràng buộc $x, S, P'>0, (S-x)^2\ge 4P'$ và
$5x^2+5(S-x)^2-10P'=9x(S-x)+18P'.$
hay $28P'=19x^2-19xS+5S^2.$
Dẫn đến $x\le \frac{2}{3}S.$

Ta có $y^2+z^2= (S-x)^2-2P'=\frac{9S^2-9xS-5x^2}{14}.$
Do đó

\begin{eqnarray} P&=&\frac{14x}{9S^2-9xS-5x^2}-\frac{1}{S^3}\\
&=&\frac{14}{9S^2/x-9S-5x}-\frac{1}{S^3}\\
&\le & \frac{12}{S}-\frac{1}{S^3}\le 18.
\end{eqnarray}
Dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{1}{3}, y=z=\frac{1}{12}.$

28-04-2016, 07:13 AM	#1
MathNMN2016 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2016 Đến từ: Việt Nam Bài gởi: 130 Thanks: 51 Thanked 1 Time in 1 Post	BĐT-Giả thiết đồng bậc Đây là chuỗi các bài toán tiếp theo do mình tổng hợp, và cũng như (các) bài viết trước ở: [Only registered and activated users can see links. ] mình sẽ tìm một cách tiếp cận, ý tưởng chung để giải. Mong mọi người tham gia thảo luận, đóng góp ý kiến. ------------------------------ Bài toán 1: Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn: $x^{2}+y^{2}-z^{2}=xy. $ Chứng minh rằng: $x^{3}+y^{3}-5z^{3}\leq -3xyz. $ ------------------------------ Thảo luận cho bài toán 1, mình từng đăng 1 Topic riêng về nó, xem tại: [Only registered and activated users can see links. ] thay đổi nội dung bởi: MathNMN2016, 28-04-2016 lúc 07:16 AM Lý do: Tự động gộp bài

28-04-2016, 01:18 PM	#2
MathNMN2016 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2016 Đến từ: Việt Nam Bài gởi: 130 Thanks: 51 Thanked 1 Time in 1 Post	Bài toán 2: Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn: $x^{2}=-xy+3yz-zx. $ Chứng minh rằng: $\left ( x+y \right )^{3}-5\left ( y+z \right )^{3}+\left ( z+x \right )^{3}\leq -3\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right ). $ ------------------------------ Đây là topic mình đã tạo để thảo luận riêng cho bài này: [Only registered and activated users can see links. ] , kể từ bài số 3 trở đi chúng ta sẽ thảo luận ở topic này. ------------------------------ Bài toán 3: Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn: $5\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )=6\left ( xy+yz+zx \right ) $ Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\sqrt{2\left ( x+y+z \right )}-\left ( y^{2}+z^{2} \right ) $ P/S: Cảm ơn anh Galois_vn đã gợi ý cho em việc nhập chung thành 1 Topic. Em đang tiếp tục một chuỗi các bài toán mới, qua đó tìm ra một cách tư duy chung thay đổi nội dung bởi: MathNMN2016, 28-04-2016 lúc 01:33 PM Lý do: Tự động gộp bài

29-04-2016, 06:40 AM	#3
MathNMN2016 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2016 Đến từ: Việt Nam Bài gởi: 130 Thanks: 51 Thanked 1 Time in 1 Post	Bài toán 4: Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn: $3z^{2}=xy+yz+zx. $ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=4\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x} \right )-\frac{2xy}{z^{2}}+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{z}. $ ------------------------------ Có thành viên nào có ý tưởng cho bài toán 3 chưa ạ? thay đổi nội dung bởi: MathNMN2016, 29-04-2016 lúc 06:41 AM Lý do: Tự động gộp bài

30-04-2016, 06:21 AM	#4
MathNMN2016 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2016 Đến từ: Việt Nam Bài gởi: 130 Thanks: 51 Thanked 1 Time in 1 Post	Bài toán 5: Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=-xy+2\left ( yz+zx \right ). $ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\left ( \frac{z}{x+y-z} \right )^{2}+\frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{\sqrt{xy}}{x +y}. $ ------------------------------ Mong mọi người góp ý thảo luận cho bài toán 4. thay đổi nội dung bởi: MathNMN2016, 30-04-2016 lúc 06:24 AM Lý do: Tự động gộp bài

01-05-2016, 08:26 AM	#5
MathNMN2016 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2016 Đến từ: Việt Nam Bài gởi: 130 Thanks: 51 Thanked 1 Time in 1 Post	Bài toán 6: Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn: $x^{2}+y^{2}+6z^{2}=4\left ( yz+zx \right ). $ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x^{3}}{y\left ( z+x \right )^{2}}+\frac{y^{3}}{x\left ( z+y \right )^{2}}+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{^{2}}}}{z}. $ ------------------------------ Mong mọi người đóng góp ý kiến cho bài toán 5 ạ. thay đổi nội dung bởi: MathNMN2016, 01-05-2016 lúc 08:27 AM Lý do: Tự động gộp bài

02-05-2016, 08:08 AM	#6
MathNMN2016 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2016 Đến từ: Việt Nam Bài gởi: 130 Thanks: 51 Thanked 1 Time in 1 Post	Bài toán 7: Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn: $3z^{2}=xy+yz+zx. $ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=32\left [ \left ( \frac{x}{y+3z} \right )^{3}+\left ( \frac{y}{x+3z} \right )^{3} \right ]-\frac{\sqrt{x^{2}+y^{^{2}}}}{z}. $ P/S: Mong mọi người tham gia thảo luận cho các bài toán . Chúc mọi người một kỳ nghỉ lễ vui vẻ, N.M.N 2016

03-05-2016, 08:32 AM	#8
MathNMN2016 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2016 Đến từ: Việt Nam Bài gởi: 130 Thanks: 51 Thanked 1 Time in 1 Post	Bài toán 8: Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn: $x^{2}+y^{2}-z^{2}=-xy+yz+zx. $ Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{\left ( x+z \right )^{2}}{2x^{2}+2xz+z^{2}}+\frac{\left ( y+z \right )^{2}}{2y^{2}+2yz+z^{2}}+\frac{xy}{\left ( x+y \right )^{2}}+\frac{xy}{x^{2}+4xy+y^{2}}. $ P/S: Có thành viên nào có ý tưởng cho bài toán 7 chưa ạ?

04-05-2016, 06:39 AM	#9
MathNMN2016 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2016 Đến từ: Việt Nam Bài gởi: 130 Thanks: 51 Thanked 1 Time in 1 Post	Bài toán 9: Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ). $ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=x+y+z+\frac{1}{xyz}-\frac{9}{x+y+z}. $ P/S: Bài toán 8 là một bài thú vị,

05-05-2016, 06:34 PM	#10
MathNMN2016 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2016 Đến từ: Việt Nam Bài gởi: 130 Thanks: 51 Thanked 1 Time in 1 Post	Bài toán 10: Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+10yz+zx. $ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=8xyz-\frac{3x^{3}}{y^{2}+z^{2}}. $ P/S: Bài toán 9 có thành viên nào có ý tưởng chưa ạ?

06-05-2016, 05:52 AM	#11
MathNMN2016 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2016 Đến từ: Việt Nam Bài gởi: 130 Thanks: 51 Thanked 1 Time in 1 Post	Bài toán 11: Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn: $5(x^{2}+y^{2}+z^{2})=9(xy+2yz+zx). $ Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{y^{2}+z^{2}}-\frac{1}{(x+y+z)^{3}}. $ P/S: Có bạn nào có lời giải cho bài toán 10 chưa ạ?

07-05-2016, 05:09 AM	#12
MathNMN2016 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2016 Đến từ: Việt Nam Bài gởi: 130 Thanks: 51 Thanked 1 Time in 1 Post	Bài toán 12: Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn: $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=10. $ Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{3}{xy+yz+zx}-\frac{4}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}. $ P/S: Mong nhận được lời giải của mọi người cho 2 bài toán 8 và 11.