|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
02-02-2018, 03:04 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 36 Thanks: 0 Thanked 13 Times in 7 Posts | Bài toán đóng mở $2018$ tủ của $2018$ học sinh. Có $2018$ học sinh lần lượt đi qua một hành lang có $2018$ cái tủ đang đóng được đánh số từ $1$ đến $2018$. Học sinh đầu tiên mở tất cả các tủ. Học sinh thứ $2$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $2,4,...,2018$. Học sinh thứ $3$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $3,6,9,...,2017$. Và cứ tiếp tục như thế, học sinh thứ $i$ đi qua sẽ thay đổi trạng thái đóng mở của tất cả các tủ được đánh số là bội của $i$. Hỏi sau khi $2018$ học sinh đi qua thì còn bao nhiêu tủ vẫn còn đóng? Kosovo Mathematical Olympiad 2018 |
06-02-2018, 08:36 AM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2018 Bài gởi: 12 Thanks: 0 Thanked 3 Times in 3 Posts | Trích:
Luôn có 2 ước tầm thường là 1 và n. Nếu có 1 ước trong khoảng (1; căn(n)) thì cũng có 1 ước tương ứng với nó trong khoảng (căn(n); n). Vậy nếu n ko là số chính phương thì số ước của n luôn là số chẵn, do đó trạng thái cuối cùng của tủ n sẽ là đóng. Nếu n là số chính phương thì số ước của n là số lẻ nên trạng thái cuối cùng của tủ là mở. Các số chính phương từ 1 đến 2018 là k.k với 0 < k < 45 nên có 44 số. Vậy tóm lại cuối cùng sẽ có 2018 - 44 = 1974 tủ đóng. | |
07-02-2018, 03:14 AM | #3 |
Administrator | Có một câu hỏi vui cho bài toán này. Với số tủ là $n$, gọi $f(n)$ là số tủ mở. Chứng minh rằng với mọi $m \ge 3$ nguyên dương thì tồn tại đúng ba số nguyên dương $n$ để $n=m \cdot f(n)$. Bài này mình ngẫu hứng chế ra khi cho các bạn học trường Đông Titan HN 2016 làm một bài tương tự bài tủ đóng - mở ở trên. __________________ Sự im lặng của bầy mèo |
Bookmarks |
|
|