|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
24-07-2013, 12:56 AM | #1 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts | [IMO 2013] Bài 1 - Số học Chứng minh rằng với hai số nguyên dương $k,n$ bất kì, tồn tại các số nguyên dương $m_1,m_2,\ldots,m_k$ sao cho $$ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right) \left(1+\frac{1}{m_2}\right) \dots \left(1+\frac{1}{m_k}\right). $$ __________________ M. |
The Following 6 Users Say Thank You to novae For This Useful Post: | dangvip123tb (02-03-2014), dvtruc (24-07-2013), n.v.thanh (24-07-2013), pco (24-07-2013), quocbaoct10 (24-07-2013), thiendieu96 (28-02-2014) |
24-07-2013, 03:50 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2011 Đến từ: Đồng Phúc - Yên Dũng - Bắc Giang Bài gởi: 6 Thanks: 12 Thanked 2 Times in 1 Post | Có thể chứng minh bài này bằng quy nạp theo k Với k=1 thì chọn $m_1$ = n Với k=2 thì đưa về phương trình nghiệm nguyên $3. m_1.m_2 = n(m_1+m_2 +1) $ $\Leftrightarrow (3.m_1- n)(3.m_2-n) = n(n+3)$ Nếu $n\vdots 3 $ thì chọn $m_1 = 2n/3, m_2=(2n+3)/3$ Nếu $n \equiv 1\pmod{3} $ thì chọn $m_1=(n+2)/3$ Nếu $n \equiv 2\pmod{3} $ thì chọn $m_1=(n+1)/3$ Quy nạp giả sử đúng đến k ta sẽ chứng minh đúng đến k+1 Thật vậy theo giả thiết qui nạp với mọi $m \in N$ thì tồn tại các sô $m_1,m_2,...m_k$ sao cho $\prod (1+\frac{1}{m_i}) = 1 + \frac{2^k-1}{m}$ Cần tìm $t \in N^*$ sao cho $ \frac{t+1}{t} = \frac{2^{k+1}n-1}{n}.\frac{m}{2^{k}+m-1}$ với k,n cho trước. Biến đổi ta được $(2^k-1)n(t+1)=m(2^{k+1}t-t-n)$ Với n lẻ chọn t=n và $m=\frac{n+1}{2}$ Với n chẵn chọn $t=n+2(2^k-1), m=\frac{n}{2}$ __________________ |
The Following 2 Users Say Thank You to hungvu For This Useful Post: | dangvip123tb (02-03-2014), ducanh_pr (28-07-2013) |
24-07-2013, 08:36 AM | #3 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2011 Đến từ: Storm monarch's Bài gởi: 144 Thanks: 77 Thanked 65 Times in 50 Posts | Trích:
__________________ | |
24-07-2013, 09:56 AM | #4 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2011 Đến từ: Đồng Phúc - Yên Dũng - Bắc Giang Bài gởi: 6 Thanks: 12 Thanked 2 Times in 1 Post | Trích:
__________________ | |
24-07-2013, 11:31 AM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2011 Đến từ: Mù Cang Chải Bài gởi: 33 Thanks: 34 Thanked 11 Times in 4 Posts | Tương đương với $ \frac{n+2^k-1}{n}=\left(\frac{1+m_1}{m_1}\right)\left(\frac{1+ m_2}{m_2}\right)\dots\left(\frac{1+m_k}{m_k}\right ). $ Ta sẽ tìm $ m_1, m_2,\ldots, m_k $ sao cho $\frac{1+m_1}{m_1}= \frac{x_1}{x_0} , \frac{1+m_2}{m_2}=\frac{x_2}{x_1},...,\frac{1+m_k} {m_k}=\frac{x_k}{x_{k-1}} $ trong đó $x_0=n$ và $x_k=n+2^k-1$ Ta sẽ xây dựng dãy ${x_i}$ như sau. $ x_0=n , x_{i+1}- x_i = 2^{j_i} $ với $j=0,1,...,k-1$ và mỗi j sẽ chỉ xuất hiện trong một hiệu. Khi đó $x_k=n+2^k-1$ Bây giờ để $m_i$ nguyên dương thì $x_i$ chia hết cho $x_{i+1}-x_i$ hay $x_i$ chia hết cho $2^{j_i}$ Bây giờ từ $x_1$ ta chọn $j_i =v_2(x_i) $ khi đó ta có $v_2(x_i)$ tăng, đến khi $v_2(x_i) \ge k-1$ thì đến đó ta cho $j_i$ còn lại nhận các giá trị còn lại trong $1,2,...,k-1$ theo thứ tự giảm dần như vậy vẫn đảm bảo $x_i$ chia hết cho $2^{j_i}$ Do đó ta luôn xây dựng được dãy $x_i$ hay luôn tìm được dãy $m_i$ Có ai hiểu mình viết cái gì không thay đổi nội dung bởi: A Good Man, 24-07-2013 lúc 11:46 AM |
24-07-2013, 11:53 AM | #6 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2012 Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa Bài gởi: 539 Thanks: 292 Thanked 365 Times in 217 Posts | Em nghĩ bài này còn một cách xây dựng khác: Từ hệ thức đầu bài, ta được: $1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right) \left(1+\frac{1}{m_2}\right) \dots \left(1+\frac{1}{m_k}\right)$. Vì vế trái nguyên nên vế phải cũng nguyên, suy ra $n$ chia hết cho $m_i$, hay nói cách khác, $m_i$ là các ước của n và $m_{1}.m_{2}...m_{k}.i=n$. Nếu n nguyên tố thì dễ thấy $k=1$ và luôn tồn tại $m=n$ thỏa. Sau đó chứng minh quy nạp với n có 2 ước, 3 ước nguyên tố,...k ước nguyên tố. Cơ mà em vẫn chưa tìm ra cách để xây dựng cho phù hợp với bài giải, mọi người giúp em ạ. __________________ i'll try my best. thay đổi nội dung bởi: quocbaoct10, 24-07-2013 lúc 05:06 PM |
24-07-2013, 05:03 PM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Đến từ: THPT chuyên KHTN Bài gởi: 53 Thanks: 7 Thanked 42 Times in 26 Posts | Ý tưởng chung là quy nạp và rất giống như IMO 2012 Các bạn hãy cm hai nhận xét sau đây, khi đó bài toán sẽ dễ dàng được giải NX1: $(i,k-1)$ đúng thì $(2i,k)$ đúng với $i\geq 1$ NX2: $(i+1,k-1)$ đúng thì $(2i+1,k)$ đúng với $i\geq 1$ Cm hai nhận xét này khá đơn giản, từ đó bài toán được giải xong bằng quy nạp mạnh thay đổi nội dung bởi: nguyenta98, 24-07-2013 lúc 05:42 PM |
26-07-2013, 03:50 PM | #8 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Đến từ: CQT- BP Bài gởi: 225 Thanks: 141 Thanked 74 Times in 56 Posts | Trích:
__________________ Thieu Hong Thai | |
Bookmarks |
|
|