Ma trận $A,B,C$ giao hoán đôi một thì có vector riêng chung

daylight · 10-01-2015, 10:35 AM

Chứng minh 3 Ma trận $A,B,C$ giao hoán đôi một thì có vector riêng chung

MathForLife · 13-01-2015, 07:50 AM

Tớ viết lại cái đề này là cậu dễ hình dung hơn nè.
Cho $3$ toán tử tuyến tính $f,g,h$ trên không gian vecto HỮU HẠN chiều $V$ có các ma trận biểu diễn lần lượt là $A,B,C$. Biết rằng $A,B,C$ giao hoán hay $f,g,h$ giao hoán. Chứng minh rằng $f,g,h$ có các giá trị riêng chung trên V.

**portgas_d_ace** · 13-01-2015, 09:07 AM

Anh chỉ chứng minh được nếu $f,g$ là các tttt giao hoán với nhau thì có chung với nhau 1 vtr còn 3 cái thì anh có cảm giác sai mà chưa nghĩ ra đc

99 · 13-01-2015, 06:32 PM

Kết quả đúng đấy, mỗi tội tìm một chứng minh đơn giản thì không dễ. Kết quả tổng quát: [Only registered and activated users can see links. ]

daylight · 13-01-2015, 08:10 PM

Trích:

Nguyên văn bởi MathForLife

Tớ viết lại cái đề này là cậu dễ hình dung hơn nè.
Cho $3$ toán tử tuyến tính $f,g,h$ trên không gian vecto HỮU HẠN chiều $V$ có các ma trận biểu diễn lần lượt là $A,B,C$. Biết rằng $A,B,C$ giao hoán hay $f,g,h$ giao hoán. Chứng minh rằng $f,g,h$ có các giá trị riêng chung trên V.

2 ma trận giao hoán thì mình biết cách chứng minh rồi, còn 3 thì mình chịu.

-cám ơn cậu nhé, thứ 7 mình thi cấp trường rồi, nhưng mình vẫn không thể hiểu nổi các định lí về chéo hóa, tam giác hóa, Jodan, mong là đề không có mấy câu này, mong là được vào để được học tiếp

Trích:

Nguyên văn bởi 99

Kết quả đúng đấy, mỗi tội tìm một chứng minh đơn giản thì không dễ. Kết quả tổng quát: [Only registered and activated users can see links. ]

sách tiếng việt em còn ko hiểu sao hiểu được cái này ạ.

99 · 13-01-2015, 09:57 PM

Mình phác thảo được c/m rồi, mỗi tội là phải xem kỹ hơn cho chắc chắn, về cơ bản lược đồ chứng minh na ná cái này [Only registered and activated users can see links. ] bạn nên đọc cái này trước vì nó dễ hơn.

123456 · 14-01-2015, 06:06 AM

Chắc phải có thêm giả thiết về trường hoặc cỡ của ma trận nhỉ? nếu không thì ma trận chưa chắc có giá trị riêng.

99 · 14-01-2015, 12:07 PM

Mấy cậu này thi olympic thì ma trận lấy luôn hệ số phức anh ạ.

123456 · 14-01-2015, 04:31 PM

Nếu vậy thì lời giải đơn giản mà, xét $\lambda$ là một giá trị riêng của $A$ và $E(\lambda)$ là không gian con riêng tương ứng với giá trị riêng $\lambda$. Từ tính giao hoán suy ra $E(\lambda)$ là không gian con bất biến của $B, C$. Xét $B_1,C_1$ là các hạn chế của $B,C$ xuống $E(\lambda)$ (ở đây mình xét ma trận như các ánh xạ tuyến tính). $B_1,C_1$ giao hoán nên nó có vector riêng chung, từ đó suy ra dpcm.

10-01-2015, 10:35 AM	#1
daylight +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 551 Thanks: 877 Thanked 325 Times in 188 Posts	Ma trận $A,B,C$ giao hoán đôi một thì có vector riêng chung Chứng minh 3 Ma trận $A,B,C$ giao hoán đôi một thì có vector riêng chung

13-01-2015, 07:50 AM	#2
MathForLife +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts	Tớ viết lại cái đề này là cậu dễ hình dung hơn nè. Cho $3$ toán tử tuyến tính $f,g,h$ trên không gian vecto HỮU HẠN chiều $V$ có các ma trận biểu diễn lần lượt là $A,B,C$. Biết rằng $A,B,C$ giao hoán hay $f,g,h$ giao hoán. Chứng minh rằng $f,g,h$ có các giá trị riêng chung trên V. $f(g(v))=g(f(v))$ Chắc cậu đang ôn olympic. Chúc cậu thành công! __________________ Khả niệm bất khả thuyết

13-01-2015, 09:07 AM	#3
portgas_d_ace Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2012 Đến từ: HCMUS Bài gởi: 506 Thanks: 160 Thanked 189 Times in 160 Posts	Anh chỉ chứng minh được nếu $f,g$ là các tttt giao hoán với nhau thì có chung với nhau 1 vtr còn 3 cái thì anh có cảm giác sai mà chưa nghĩ ra đc __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị -

Ðiều Chỉnh
Tạo trang in Email trang này
Xếp Bài
Chế độ bình thường Chuyển sang chế độ Pha trộn Chuyển sang chế độ dạng cây

13-01-2015, 06:32 PM	#4
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Kết quả đúng đấy, mỗi tội tìm một chứng minh đơn giản thì không dễ. Kết quả tổng quát: [Only registered and activated users can see links. ]

13-01-2015, 09:57 PM	#6
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Mình phác thảo được c/m rồi, mỗi tội là phải xem kỹ hơn cho chắc chắn, về cơ bản lược đồ chứng minh na ná cái này [Only registered and activated users can see links. ] bạn nên đọc cái này trước vì nó dễ hơn.

14-01-2015, 06:06 AM	#7
123456 +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts	Chắc phải có thêm giả thiết về trường hoặc cỡ của ma trận nhỉ? nếu không thì ma trận chưa chắc có giá trị riêng.

14-01-2015, 12:07 PM	#8
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Mấy cậu này thi olympic thì ma trận lấy luôn hệ số phức anh ạ.

14-01-2015, 04:31 PM	#9
123456 +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts	Nếu vậy thì lời giải đơn giản mà, xét $\lambda$ là một giá trị riêng của $A$ và $E(\lambda)$ là không gian con riêng tương ứng với giá trị riêng $\lambda$. Từ tính giao hoán suy ra $E(\lambda)$ là không gian con bất biến của $B, C$. Xét $B_1,C_1$ là các hạn chế của $B,C$ xuống $E(\lambda)$ (ở đây mình xét ma trận như các ánh xạ tuyến tính). $B_1,C_1$ giao hoán nên nó có vector riêng chung, từ đó suy ra dpcm.