Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tài Liệu > Đề Thi > Đề Chọn Đội Tuyển Trường

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 16-06-2013, 11:20 AM   #1
ikariam123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gởi: 21
Thanks: 11
Thanked 11 Times in 5 Posts
Đề thi chọn đội tuyển trường THPT số 1, Bình Định

Hôm qua trường mình cho làm đề chọn đội tuyển, post lên cho mọi người tham khảo ( còn ngày 2 thì mai làm)

Ngày 1

Câu 1: Cho 4 số dương $a, b, c, k$ thỏa $a + b+c= 2a +kbc=1$.
a) Cho$ k = 3$. CM:
$ 2(a + a^{2}+a^{3}+a^{4}) \geq b + b^{2}+b^{3}+b^{4}+c + c^{2}+c^{3}+c^{4}$
b) Tìm các giá trị của$ k$ để $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh tam giác.

Câu 2: Cho $(u_{n})$ thỏa $u_{1}=1, u_{2}=2, u_{n+1}=n(u_{n}+u_{n-1})$
Tìm $lim(\frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{2}}+...\frac{1}{u _{n}})$

Câu 3: Cho $BC = R\sqrt{2}$ là dây cung của $(O;R)$.$ A$ thuộc $(O)$ ( khác $B, C$).$ H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Trung trực$ BC$ cắt $AB, AC$ tại$ E, F$
a) Chứng minh$ OH$ luôn cắt các cạnh tam giác$ ABC$.
b) Chứng minh nếu$ S_{ABC} = \frac{3+\sqrt{3}}{4}R^{2}$ thì$H$ thuộc$(AFB)$hoặc $(AEC)$

Câu 4: Cho số nguyên dương$ n >2$. Với mỗi$ n$, đặt $A_{n}=2n^{2}+8n+5+10^{n}$.
a) Chứng minh $[\sqrt{A_{n}}]^{2}+1\leq A_{n}$
b) Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho $A_{p}$ chia hết cho$ p$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: ikariam123, 16-06-2013 lúc 11:32 AM
ikariam123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to ikariam123 For This Useful Post:
luugiangnam (16-06-2013), quocbaoct10 (16-06-2013), TNP (16-06-2013)
Old 16-06-2013, 03:26 PM   #2
quocbaoct10
+Thành Viên Danh Dự+
 
quocbaoct10's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa
Bài gởi: 539
Thanks: 292
Thanked 365 Times in 217 Posts
Câu 4:
a.xét với đồng dư 8 để cm $A_n $ không là một số chính phương nên suy ra $\sqrt{A_n}\ge[\sqrt{A_{n}}] \Rightarrow A_n\ge[\sqrt{A_{n}}]^{2}+1 $.
b. $A_n $ chia hết cho p khi $5+10^n $ chia hết cho p. xét $p=2 $ thì $A_n $ không chia hết cho $p; p=3,5 $ thì $A_n $ chia hết cho p. Nếu $p\neq2,5 $ thì $(10,p)=1 $ $\Rightarrow 10^n \equiv 10 \pmod{p} \Rightarrow 5+10^n \equiv 15 \pmod{p} $ nên $5+10^n $ không chia hết cho p. Vậy $p=3,5 $.
Em lần đầu gõ latex, anh thông cảm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 16-06-2013 lúc 03:54 PM
quocbaoct10 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to quocbaoct10 For This Useful Post:
luugiangnam (16-06-2013)
Old 16-06-2013, 05:39 PM   #3
luugiangnam
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Đến từ: Cà Mau
Bài gởi: 82
Thanks: 99
Thanked 31 Times in 19 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới luugiangnam
Bạn làm dùm mình câu a. Xét đồng dư 8 là sao?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
http://www.facebook.com/giangnam.luu.9?ref=tn_tnmn
luugiangnam is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-06-2013, 05:40 PM   #4
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Trường của bạn chủ thớt là trường nào vậy? Sao không ghi ra? Và đề thi mấy vòng?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-06-2013, 05:49 PM   #5
blackholes.
+Thành Viên+
 
blackholes.'s Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Trà Vinh
Bài gởi: 189
Thanks: 174
Thanked 107 Times in 70 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ikariam123 View Post
Hôm qua trường mình cho làm đề chọn đội tuyển, post lên cho mọi người tham khảo ( còn ngày 2 thì mai làm)

Ngày 1

Câu 1: Cho 4 số dương $a, b, c, k$ thỏa $a + b+c= 2a +kbc=1$.
a) Cho$ k = 3$. CM:
$ 2(a + a^{2}+a^{3}+a^{4}) \geq b + b^{2}+b^{3}+b^{4}+c + c^{2}+c^{3}+c^{4}$
b) Tìm các giá trị của$ k$ để $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh tam giác.

Câu 2: Cho $(u_{n})$ thỏa $u_{1}=1, u_{2}=2, u_{n+1}=n(u_{n}+u_{n-1})$
Tìm $lim(\frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{2}}+...\frac{1}{u _{n}})$



Câu 4: Cho số nguyên dương$ n >2$. Với mỗi$ n$, đặt $A_{n}=2n^{2}+8n+5+10^{n}$.
a) Chứng minh $[\sqrt{A_{n}}]^{2}+1\leq A_{n}$
b) Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho $A_{p}$ chia hết cho$ p$
Câu 1:
a.
Ta có:
+$b^{2}+c^{2}= \frac{3a^{2}-2a+1}{3}$
+$b^{3}+c^{3}= -a^{3}+a^{2}$
+$b^{4}+c^{4}= \frac{9a^{4}-12a^{3}+2a^{2}+4a-1}{9}$
Từ điều kiện đề bài :
$2a+3bc= 1\Rightarrow 2a+\frac{3}{4}\left ( b+c \right )^{2}-1\geq 0\Leftrightarrow 2a+\frac{3}{4}\left ( 1-a \right )^{2}-1\geq 0\Leftrightarrow a\geq \frac{1}{3}$

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$9a^{4}+39a^{3}-2a^{2}+29a-11\geq 0\Leftrightarrow \left ( 3a-1 \right )\left ( 3a^{3} +14a^{2}+4a+11\right )\geq 0$ (luôn đúng)
b.
Câu 2 :
Qui nạp :$u_{n}= n!$
Từ đó ta tính được giới hạn là $e-1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Life is suffering
blackholes. is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-06-2013, 06:30 PM   #6
ikariam123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gởi: 21
Thanks: 11
Thanked 11 Times in 5 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ikariam123 View Post
$
a) Chứng minh$ OH$ luôn cắt các cạnh tam giác$ ABC$.
$
xin lỗi mọi người, mình đánh sai đề
a) Chứng minh $OH$ luôn cắt cạnh BC cuả tam giác $ABC$
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi 99 View Post
Trường của bạn chủ thớt là trường nào vậy? Sao không ghi ra? Và đề thi mấy vòng?
em học trường làng thôi anh ( thpt số 1, bình định)
trường em thi 1 vòng 2 ngày thôi
kì thi này cũng chỉ kiểm tra trình độ là chính, còn kì thi vào đầu tháng 8 nữa để chọn đi thi tỉnh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: ikariam123, 16-06-2013 lúc 06:39 PM Lý do: Tự động gộp bài
ikariam123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-06-2013, 08:08 PM   #7
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ikariam123 View Post

em học trường làng thôi anh ( thpt số 1, bình định)
trường em thi 1 vòng 2 ngày thôi
kì thi này cũng chỉ kiểm tra trình độ là chính, còn kì thi vào đầu tháng 8 nữa để chọn đi thi tỉnh
Chú viết đầy đủ cho anh tên trường chú, và bài kiểm tra này có mục đích chính là gì? Còn nếu không phải là thi chọn đội tuyển chính thức thì không thể đặt trong box này, và sẽ không có tiêu đề là Đề chọn đội tuyển.

Viết bài một cách quy củ là giúp chính mình và mọi người, thế nên cần phải làm một cách chu đáo
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-06-2013, 09:39 PM   #8
quocbaoct10
+Thành Viên Danh Dự+
 
quocbaoct10's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa
Bài gởi: 539
Thanks: 292
Thanked 365 Times in 217 Posts
Ta có $a^2 \equiv 0;1;4 \pmod{8} $ $\Rightarrow $ $2a^2 \equiv 0;2 \pmod{8} $ (1). $8n+5 \equiv 5 \pmod{8} $ (2) và $10^n \equiv 0 \pmod{8} $ (3). Từ (1); (2) và (3) $\Rightarrow $ $A_n=2a^2+8n+5+10^n \equiv 5;7 \pmod{8} $ nên $A_n $ không là số chính phương.
------------------------------
Câu 3a: TH1: $\widehat{ABC} $ tù $\Rightarrow $ điểm $H $ nằm ngoài đường tròn $(O) $. Giả sử $OH \parallel BC $ $\Rightarrow $ $OH \perp AH $ tại điểm $H $ $\Rightarrow $ $H $ phải nằm trong đường tròn (vô lí). Vậy nên $OH $ luôn cắt $BC $. chứng minh tương tự với TH góc nhọn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: quocbaoct10, 16-06-2013 lúc 10:32 PM Lý do: Tự động gộp bài
quocbaoct10 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to quocbaoct10 For This Useful Post:
ikariam123 (17-06-2013)
Old 17-06-2013, 11:07 AM   #9
ikariam123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gởi: 21
Thanks: 11
Thanked 11 Times in 5 Posts
Ngày 2

Câu 1: Tìm số các bộ số nguyên dương $(a, b, c)$ thỏa mãn
$a + b+ 2c = 2013$

Câu 2: Tìm các hàm số $f(x) : R \rightarrow R $ thỏa đồng thời các điều kiện:
i) $f(x)$ tăng thực sự
ii) $f(0) = 0$, $f(1) = 1$.
iii) $f(f(f(x+y)))$ + $f(y)$ = $f(x+1)$ + $2y$ - 1 ,với mọi $x, y$ thực

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ có $E, F$ thuộc cạnh $BC$sao cho $\angle BAE=\angle EAF=\angle FAC$.
a) CM $\frac{AE^{2}+AF^{2}}{EF^{2}}\geq \frac{BC^{2}}{AC^{2}+AB^{2}}$
b) Gọi $I, K$ làn lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BAF, CAE$. Giả sử $\frac{AE.AF}{AB.AC}=\frac{(1+\sqrt{5})\sqrt{5+ \sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}.\sqrt{ \frac{5- \sqrt{5} }{10}}.\tfrac{EF}{BC}$ , chứng minh $(AIB)$ và $(AKC)$ tiếp xúc nhau

Câu 4: Cho $2n +1 (n > 2)$ số nguyên $ a_{1}<a_{2}<...<a_{2n+1}$ sao cho tổng $n+1$ số bất kỳ trong chúng lớn hơn tổng của $n $ số còn lại. Giả sử $a_{2n+1} = (2n+1)^{2}$, tìm số các bộ $(a_{1};a_{2};...;a_{2n+1})$
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi blackholes. View Post
Câu 1:
a.
Ta có:
+$b^{2}+c^{2}= \frac{3a^{2}-2a+1}{3}$
+$b^{3}+c^{3}= -a^{3}+a^{2}$
+$b^{4}+c^{4}= \frac{9a^{4}-12a^{3}+2a^{2}+4a-1}{9}$
Từ điều kiện đề bài :
$2a+3bc= 1\Rightarrow 2a+\frac{3}{4}\left ( b+c \right )^{2}-1\geq 0\Leftrightarrow 2a+\frac{3}{4}\left ( 1-a \right )^{2}-1\geq 0\Leftrightarrow a\geq \frac{1}{3}$

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$9a^{4}+39a^{3}-2a^{2}+29a-11\geq 0\Leftrightarrow \left ( 3a-1 \right )\left ( 3a^{3} +14a^{2}+4a+11\right )\geq 0$ (luôn đúng)
b.
Câu 2 :
Qui nạp :$u_{n}= n!$
Từ đó ta tính được giới hạn là $e-1$
Câu 1b bạn làm sai rồi, đề bài yêu cầu tìm giá trị của $k$ chứ không phải của $a, b, c$
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi 99 View Post
Chú viết đầy đủ cho anh tên trường chú, và bài kiểm tra này có mục đích chính là gì? Còn nếu không phải là thi chọn đội tuyển chính thức thì không thể đặt trong box này, và sẽ không có tiêu đề là Đề chọn đội tuyển.

Viết bài một cách quy củ là giúp chính mình và mọi người, thế nên cần phải làm một cách chu đáo
Kì thi này chọn ra khoản 20 hs rồi kì sau nữa chọn ra 10 hs để thi tỉnh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: ikariam123, 17-06-2013 lúc 06:54 PM Lý do: Tự động gộp bài
ikariam123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to ikariam123 For This Useful Post:
quocbaoct10 (17-06-2013)
Old 17-06-2013, 11:19 AM   #10
quocbaoct10
+Thành Viên Danh Dự+
 
quocbaoct10's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa
Bài gởi: 539
Thanks: 292
Thanked 365 Times in 217 Posts
Câu 1: nếu $a $ và $b $ cũng tính chẵn lẻ thì $a+b+2c $ là số chẵn, vô lí. Vậy nên $a $ và $b $ có tính chẵn lẻ khác nhau. không mất tính tổng quát, giả sử $a $ chẵn, đặt $a=2k $ và $b=2k'+1 $ thì phương trình tương đương với $2k+2k'+1+2c=2013 $ $\Leftrightarrow $ $c=606-k-k' $. ($0<k+k'<606 $). vậy nên, pt có nghiệm $(a,b,c)=(2k,2k'+1,606-k-k') $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
quocbaoct10 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-06-2013, 11:38 AM   #11
ikariam123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gởi: 21
Thanks: 11
Thanked 11 Times in 5 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi quocbaoct10 View Post
Câu 1: nếu $a $ và $b $ cũng tính chẵn lẻ thì $a+b+2c $ là số chẵn, vô lí. Vậy nên $a $ và $b $ có tính chẵn lẻ khác nhau. không mất tính tổng quát, giả sử $a $ chẵn, đặt $a=2k $ và $b=2k'+1 $ thì phương trình tương đương với $2k+2k'+1+2c=2013 $ $\Leftrightarrow $ $c=606-k-k' $. ($0<k+k'<606 $). vậy nên, pt có nghiệm $(a,b,c)=(2k,2k'+1,606-k-k') $.
Đề nghị bạn đọc kĩ đề
Đề không yêu cầu giải pt
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi ikariam123 View Post
Ngày 1

Câu 1: Cho 4 số dương $a, b, c, k$ thỏa $a + b+c= 2a +kbc=1$.
a) Cho$ k = 3$. CM:
$ 2(a + a^{2}+a^{3}+a^{4}) \geq b + b^{2}+b^{3}+b^{4}+c + c^{2}+c^{3}+c^{4}$
b) Tìm các giá trị của$ k$ để $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh tam giác.
1a. ta c/m được $a^{2} = b^{2} + c^{2} -bc$
từ đó c/m các BDT
$2a \geq b+c$
$ 2a^{2} \geq b^{2} +c^{2}$
$ 2a^{3} \geq b^{3} +c^{3}$
$ 2a^{4} \geq b^{4} +c^{4}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: ikariam123, 17-06-2013 lúc 11:45 AM Lý do: Tự động gộp bài
ikariam123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-06-2013, 11:46 AM   #12
quocbaoct10
+Thành Viên Danh Dự+
 
quocbaoct10's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa
Bài gởi: 539
Thanks: 292
Thanked 365 Times in 217 Posts
đọc đề vội quá nhầm thành tìm bộ số
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
quocbaoct10 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-06-2013, 02:58 PM   #13
blackholes.
+Thành Viên+
 
blackholes.'s Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Trà Vinh
Bài gởi: 189
Thanks: 174
Thanked 107 Times in 70 Posts
[QUOTE=ikariam123;191248]Ngày 2
Câu 4: Cho $2n +1 (n > 2)$ số nguyên $ a_{1}<a_{2}<...<a_{2n+1}$ sao cho tổng $n$ số bất kỳ trong chúng lớn hơn tổng của $n +1$ số còn lại. Giả sử $a_{2n+1} = (2n+1)^{2}$, tìm số các bộ $(a_{1};a_{2};...;a_{2n+1})$
Hình như đề sai thì phải
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Life is suffering
blackholes. is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-06-2013, 04:19 PM   #14
ikariam123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gởi: 21
Thanks: 11
Thanked 11 Times in 5 Posts
[QUOTE=blackholes.;191258]
Trích:
Nguyên văn bởi ikariam123 View Post
Ngày 2
Câu 4: Cho $2n +1 (n > 2)$ số nguyên $ a_{1}<a_{2}<...<a_{2n+1}$ sao cho tổng $n$ số bất kỳ trong chúng lớn hơn tổng của $n +1$ số còn lại. Giả sử $a_{2n+1} = (2n+1)^{2}$, tìm số các bộ $(a_{1};a_{2};...;a_{2n+1})$
Hình như đề sai thì phải
thành thật xin lỗi bạn
đề đúng là
tổng $n + 1$ số bất kì lớn hơn tổng $n$ số còn lại
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ikariam123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-06-2013, 03:11 PM   #15
ikariam123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gởi: 21
Thanks: 11
Thanked 11 Times in 5 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ikariam123 View Post
Ngày 2

Câu 2: Tìm các hàm số $f(x) : R \rightarrow R $ thỏa đồng thời các điều kiện:
i) $f(x)$ tăng thực sự
ii) $f(0) = 0$, $f(1) = 1$.
iii) $f(f(f(x+y)))$ + $f(y)$ = $f(x+1)$ + $2y$ - 1 ,với mọi $x, y$ thực
$f(f(f(x+y))) + f(y) = f(x+1) + 2y - 1$ (1)
cho $y =0$, ta có $f(f(f(x)))=f(x+1)-1$ (2)
cho $x =0$, ta có $f(f(f(y)))+f(y)=2y$ (3)

Từ (2), (3), cho $x=y$ ta có $f(x+1)-1=2x-f(x) $ và $f(f(f(x))) = 2x-f(x)$
(1) $\Leftrightarrow 2(x+y)-f(x+y)+f(y) = 2x-f(x)+2y$
Suy ra $f(x) + f(y) = f(x+y)$, $f$ tăng, so với điều kiện suy ra $ f(x) = x$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 19-06-2013 lúc 07:55 PM Lý do: LaTeX
ikariam123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:13 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 107.58 k/123.80 k (13.11%)]