Exercises : Compute de Rham cohomology

[T.Courtin]

Dạo nọ mình có gửi topic để hỏi mấy cái này. Bây giờ mình muốn liệt kê lại thành bài tập, gọi là để chia sẻ cho những ai mới bắt đầu học. Khi mới học đối đồng điều de Rham mà không biết tính nhóm thì cũng hơi chán thật. Mình sẽ cố gắng post dần lời giải

Tính các nhóm đối đồng điều de Rham sau:

1. $H^*(\mathbb{R}^n) $
2. $H^*(S^n) $
3. $H^*(\mathbb{RP}^n) $
4. $H^*(\mathbb{CP}^n) $
5. $H^*(T^n) $ . $T^n $ là xuyến n chiều.
6. $H^*(\mathbb{R}^2- \{P,Q\}) $ $P,Q $ là 2 điểm phân biệt trong mặt phẳng $\mathbb{R}^2 $
7. $H^*(M) $ , M là lá Mobius mở (lá Mobius thông thường bỏ biên)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[T.Courtin]

Không ai giải nhỉ chắc tại dễ quá

1. Đây chính là kết quả của Bổ đề Poincaré : Nếu $U\subset\mathbb{R}^n $ là tập mở hình sao (hình như mình nghe đâu đó: chỉ cần U co rút được (contractible) ) thì nhóm nhóm đối đồng điều de Rham triệt tiêu với $k\geq 1 $ , tức là $ H^k(U)=0 $
$H^0(U) =\mathbb{R} $ , this is trivial.

PS: mấy bài sau phải dùng diagram, mà TC chưa biết gõ , admin giới thiệu vài đường Latex được chứ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[T.Courtin]

Để tính 2 ta sẽ dùng dãy Mayer-Vietoris : $M $ là đa tap vi phân, $\{U,V\} $ là phủ mở của $M $.
Khi đó dãy sau là dãy khớp :
(1) $0\to\Omega^k(M)\to\Omega^k(U)\oplus\Omega^k(V)\to \Omega^k(U\cap V) $
Ở đây đồng cấu từ $\Omega^k(U)\oplus\Omega^k(V)\to\Omega^k(U\cap V) $ cho bởi $(\omega,\eta)\to \eta-\omega $
Còn đồng cầu từ $\Omega^k(M)\to\Omega^k(U)\oplus\Omega^k(V) $ là ánh xạ hạn chế (restriction)

Dãy (1) được gọi là dãy Mayer-Vietoris. Dãy này cảm sinh dãy khớp ở đối đồng điều :
(2)$\ldots\to H^k(M)\to H^k(U)\oplus H^k(V)\to H^k(U\cap V)\to H^{k+1}(M)\to\ldots $
Dãy (2) cũng được gọi là dãy Mayer-Vietoris.


Ta tính $H^*(S^n) $
Phủ $S^n $ bằng 2 tập mở U,V sao cho mỗi tập phủ 1 "bán cầu" . Khi đó $U\cap V $ vi phôi với $\mathbb{R}\times S^{n-1} $ , nếu $n>1 $ , còn nếu $n=1 $ thì $U\cap V $ là hợp của 2 tập mở liên thông rời nhau

Khi đó ta sẽ thu được dãy (2) và sử dụng proposition 2.11 trong Atiyah-McDonald : Introduction to Commutative Algebra , ta thu được quan hệ về chiều của các không gian vector trong dãy (2) .

Từ đó, dễ thấy : $H^k(S^n) = \left\{\mathbb{R}\mbox{ if }k=0,n\\ 0 \mbox{ otherwise }\right. $

PS: không gõ được những ký hiệu Toán này ở forum \cong,\mapsto ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[galmotcoh]

:hornytoro:Chán quá, để khuấy động không khí, thử làm bài này nha. Cho phương trình $ax^n + by^n = cz^n $ trong mặt phẳng xạ ảnh, với a,b,c là các số p-adic. Tìm De Rham cohomology của lược đồ ứng với pt trên. :hornytoro: (chú ý tính trên $\overline{\mathbb{Q}}_p $)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[T.Courtin]

Hi anh galmotcoh,
Em viết topic cho ai mới học về de Rham cohomology mà. Những cái anh hỏi trên em nói thật là sinh viên Toán ở Việt Nam chắc chẳng mấy ai biết, hoặc do cá nhân em kém. Mà không biết thì thảo luận gì
Nếu có thể thì anh thảo luận trong phạm trù đa tạp vi phân. Cái này thì sinh viên Toán biết cả vì nó là kiến thức cơ bản
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[galmotcoh]

:hornytoro:ừh, im sorry, quay về với đa tạp khả vi.
Tính đối đồng điều De Rham của tổng liên thông (k-lần) của $\mathbb{CP}^n $. (Tổng liên thông là connected sum). :hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[T.Courtin]

Thank you, but it's the first time I've heard about a connected sum . I've found its def on wikipedia. I'll try to solve your exercise^^
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]