Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tài Liệu > Đề Thi > Các Đề Thi Khác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 04-04-2015, 02:26 PM   #1
Juliel
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2013
Đến từ: THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai
Bài gởi: 144
Thanks: 109
Thanked 130 Times in 66 Posts
Đề thi Olympic 30/4 lần thứ XXI năm 2015 (toán 11)

Bài 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{matrix} (2x-1)\sqrt{x+y}=(6-x-y)\sqrt{2-x}\\ y+3+2\sqrt[3]{12x^2+3xy-18x}=(x-1)^3 \end{matrix}\right.$$

Bài 2 (4 điểm)
Cho dãy $(u_n)$ như sau :
$$u_{n}=\dfrac{e^{\frac{1}{n+1}}}{n+1}+\dfrac{e^{\ frac{1}{n+2}}}{n+2}+...+\dfrac{e^{\frac{1}{2n}}}{2 n}$$
Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}u_n$.

Bài 3 (3 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $X$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$. Phân giác góc $BAC$ cắt đường tròn tâm $X$ bán kính $XB$ tại điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$. Tia $OM$ cắt $BC$ tại $P$. Gọi $E,F$ là hình chiếu của $M$ xuống $AC,AB$. Chứng minh rằng $PE,PF$ vuông góc nhau.

Bài 4 (3 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số nguyên tố. Đặt $x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a$. Gỉa sử rằng $x^2=y$ và hiệu $\sqrt{z}-\sqrt{y}$ là bình phương của một số nguyên tố. Tính giá trị biểu thức :
$$T=(a+2)(b-10)(c+2)$$

Bài 5 (3 điểm)
Tìm tất cả các hàm số đơn ánh $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả :
$$f(x^3)+f(y^3)=(x+y)\left [ f^2(x)-f(x)f(y)+f^2(y) \right ],\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Bài 6 (3 điểm)
Tại ba đỉnh $A,B,C$ của một tam giác $ABC$, người ta viết các số $a,b,c$ trong đó $a,b,c$ không đồng thời bằng nhau. Người ta thực hiện phép biến đổi sau : Nếu mỗi bộ trước là $(x,y,z)$ thì sau đó ta thay bởi bộ $(x+y-2z,y+z-2x,z+x-2y)$. Chứng minh rằng sau một số lần biến đổi sẽ tồn tại một bộ ba số mà ít nhất một trong ba số của nó không nhỏ hơn $2015$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Juliel, 04-04-2015 lúc 06:44 PM
Juliel is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to Juliel For This Useful Post:
dangvip123tb (04-04-2015), DenisO (07-04-2015), huy230499 (04-04-2015), khi gia (04-04-2015), quocbaoct10 (04-04-2015), thaygiaocht (04-04-2015)
Old 04-04-2015, 03:30 PM   #2
khanghaxuan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2014
Đến từ: Khánh Hòa
Bài gởi: 23
Thanks: 51
Thanked 3 Times in 3 Posts
Bài 1: Nhận thấy x=2 , y=-2 là nghiệm của hpt
Đặt $\sqrt{x+y}=t$

Phương trình đầu viết lại : $(2x-1)t=(6-t^{2})\sqrt{2-x}$
$\Leftrightarrow t^{2}\sqrt{2-x}+t(2x-1)-6\sqrt{2-x}$
Ta có : $\Delta = (2x-7)^{2}$

Nên $t=\frac{1-2x+7-2x}{2\sqrt{2-x}}$ hoặc $t=\frac{-3}{2\sqrt{2-x}}$(vl)

Nên $\sqrt{x+y}=2\sqrt{2-x} \Rightarrow y=8-5x$

Thay vào PT(2) rồi làm một hồi sẽ ra được pt :

$(x-2)^{2}(x^{2}-x+6)^{3}+24x=0$ ( Tới đây bí )
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: khanghaxuan, 04-04-2015 lúc 03:32 PM
khanghaxuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-04-2015, 05:02 PM   #3
buigiahuy0
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2014
Bài gởi: 40
Thanks: 14
Thanked 10 Times in 6 Posts
Bài 5 (3 điểm)
Tìm tất cả các hàm số đơn ánh $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả :
$$f(x^3)+f(y^3)=(x+y)\left [ f^2(x)-f(x)f(y)+f^2(y) \right ],\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$
Giải:
Cho \[x = y = 0\] suy ra \[f(0) = 0\].Cho \[y = 0\] suy ra \[f({x^3}) = x{f^2}(x);\forall x \in R\].Suy ra \[f({x^3}) + f({y^3}) = x{f^2}(x) + {\rm{y}}{{\rm{f}}^2}(y)\]
\[ \Leftrightarrow (x + y)\left[ {{f^2}(x) - f(x)f(y) + {f^2}(y)} \right] = x{f^2}(x) + y{f^2}(y)\]
\[ \Leftrightarrow - (x + y)f(x)f(y) + x{f^2}(y) + y{f^2}(x) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {f(y) - f(x)} \right]\left[ {xf(y) - yf(x)} \right] = 0\]
Do f đơn ánh suy ra \[\frac{{f(x)}}{x} = \frac{{f(y)}}{y};\forall x,y \in R\backslash \left\{ 0 \right\}\]
Suy ra \[\frac{{f(x)}}{x} = C\] hay \[f(x) = Cx\] Trong đó \[C\] là hằng số
Mà \[f(0) = 0\]. Suy ra \[f(x) = Cx;\forall x \in R\].
Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hàm số cần tìm là \[f(x) = Cx;\forall x \in R\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
buigiahuy0 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to buigiahuy0 For This Useful Post:
dangvip123tb (04-04-2015), khi gia (04-04-2015)
Old 04-04-2015, 05:29 PM   #4
quocbaoct10
+Thành Viên Danh Dự+
 
quocbaoct10's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa
Bài gởi: 539
Thanks: 292
Thanked 365 Times in 217 Posts
Đề câu 6 không chặt chẽ, nếu đúng phải là: 3 số a,b,c không đồng thời bằng nhau.
Ta có thể dùng đơn biến: $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2$. Sau mỗi lần đổi, ta được : $f(x_1+x_2-2x_3,x_2+x_3-2x_1,x_3+x_1-2x_2)=9(x_1-x_2)^2+9(x_2-x_3)^2+9(x_3-x_1)^2 > f(x_1,x_2,x_3)$. Từ đấy suy ra $f(x_1,x_2,x_3)$ luôn tăng và tăng đến vô hạn nên các 1 trong 3 giá trị $(a,b,c)$ cũng bắt buộc phải tăng theo và tăng vô hạn nên sẽ có ít nhât 1 trong 3 số không nhỏ hơn 2015.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
i'll try my best.
quocbaoct10 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to quocbaoct10 For This Useful Post:
dangvip123tb (04-04-2015), Juliel (04-04-2015), khi gia (04-04-2015)
Old 04-04-2015, 06:43 PM   #5
Juliel
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2013
Đến từ: THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai
Bài gởi: 144
Thanks: 109
Thanked 130 Times in 66 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi quocbaoct10 View Post
Đề câu 6 không chặt chẽ, nếu đúng phải là: 3 số a,b,c không đồng thời bằng nhau.
Ta có thể dùng đơn biến: $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2$. Sau mỗi lần đổi, ta được : $f(x_1+x_2-2x_3,x_2+x_3-2x_1,x_3+x_1-2x_2)=9(x_1-x_2)^2+9(x_2-x_3)^2+9(x_3-x_1)^2 > f(x_1,x_2,x_3)$. Từ đấy suy ra $f(x_1,x_2,x_3)$ luôn tăng và tăng đến vô hạn nên các 1 trong 3 giá trị $(a,b,c)$ cũng bắt buộc phải tăng theo và tăng vô hạn nên sẽ có ít nhât 1 trong 3 số không nhỏ hơn 2015.
Xin lỗi anh em chép thiếu. Đúng là $a,b,c$ không đồng thời bằng nhau, tại em chép theo trí nhớ thôi à.
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi khanghaxuan View Post
Bài 1: Nhận thấy x=2 , y=-2 là nghiệm của hpt
Đặt $\sqrt{x+y}=t$

Phương trình đầu viết lại : $(2x-1)t=(6-t^{2})\sqrt{2-x}$
$\Leftrightarrow t^{2}\sqrt{2-x}+t(2x-1)-6\sqrt{2-x}$
Ta có : $\Delta = (2x-7)^{2}$

Nên $t=\frac{1-2x+7-2x}{2\sqrt{2-x}}$ hoặc $t=\frac{-3}{2\sqrt{2-x}}$(vl)

Nên $\sqrt{x+y}=2\sqrt{2-x} \Rightarrow y=8-5x$

Thay vào PT(2) rồi làm một hồi sẽ ra được pt :

$(x-2)^{2}(x^{2}-x+6)^{3}+24x=0$ ( Tới đây bí )
Thay $y=8-5x$ vào phương trình sau :
$$2\sqrt[3]{-3x^2+6x}=x^3-3x^2+14x-12$$
Đặt $\sqrt[3]{-3x^2+6x}=t$ thì :
$$\left\{\begin{matrix} t^3=-3x^2+6x\\ 2t=x^3-3x^2+8x-12 \end{matrix}\right.$$
Suy ra :
$$t^3+2t=(-3x^2+6x)+(x^3-3x^2+8x-12)=(x-2)^3+2(x-2)$$
Suy ra $t=x-2$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Juliel, 04-04-2015 lúc 06:51 PM Lý do: Tự động gộp bài
Juliel is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to Juliel For This Useful Post:
buigiahuy0 (04-04-2015), dangvip123tb (04-04-2015), DenisO (07-04-2015), khanghaxuan (05-04-2015), thaygiaocht (04-04-2015)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:07 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 59.99 k/66.87 k (10.29%)]