Đề thi hình học vi phân cho năm thứ ba, ĐHSPHN

99 · 25-05-2010, 01:34 PM

Đề thi hết học phần môn hình học vi phân II, năm học 2009-2010
Thời gian: 120 phút

Câu 1:

1) Nêu khái niệm ánh xạ Weingarten của đa tạp hai chiều $S\subset E^3 $ tại một điểm. Nêu khái niệm độ cong Gauss, độ cong trung bình của mặt $S $ tại một điểm của nó.

2) Cho $U $ mở trong $E^2 $ và can là mê-tríc chính tắc trong $E^2 $, cho $\varphi $ là hàm dương khả vi trên $U $; xét đa tạp Riemann hai chiều $(U,\frac{can}{\varphi}) $. Hãy xây dựng công thức tính độ cong Gauss của $(U,\frac{can}{\varphi}) $. Nêu ví dụ chứng tỏ rằng trên cùng một tập mở $U\subset E^2 $ với những mê-tríc khác nhau, ta có được những đa tạp Riemann có độ cong âm, dương, bằng không.

Câu 2: Cho hai mặt $S $ và $\widetilde{S} $ trong $E^3 $ tiếp xúc dọc một đường $\gamma. $ Chứng minh rằng nếu $\gamma $ là một đường tiền trắc địa của $S $ thì nó cũng là một đường tiền trắc địa của $\widetilde{S} $.

Câu 3: Cho mặt $S $ trong $E^3 $ tạo bởi đồ thị của hàm $z = x^2+xy+y^2 $. Hãy tính

1) Độ cong Gauss và độ cong trung bình của $S $ tại $O(0,0,0) $.

2) Tính độ cong pháp dạng theo phương tiếp xúc tạo với trục $Ox $ một góc $\varphi $ tại điểm $O(0,0,0) $ của $S. $

3) Tính độ cong trắc địa của đường tọa độ $x=0 $ nằm trên $S. $

Câu 4: Cho $\gamma $ là đường song chính quy trong $E^3 $. Chứng minh rằng $\gamma $ là đường tiệm cận của mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến chính của $\gamma $

25-05-2010, 01:34 PM	#1
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Đề thi hình học vi phân cho năm thứ ba, ĐHSPHN Đề thi hết học phần môn hình học vi phân II, năm học 2009-2010 Thời gian: 120 phút Câu 1: 1) Nêu khái niệm ánh xạ Weingarten của đa tạp hai chiều $S\subset E^3 $ tại một điểm. Nêu khái niệm độ cong Gauss, độ cong trung bình của mặt $S $ tại một điểm của nó. 2) Cho $U $ mở trong $E^2 $ và can là mê-tríc chính tắc trong $E^2 $, cho $\varphi $ là hàm dương khả vi trên $U $; xét đa tạp Riemann hai chiều $(U,\frac{can}{\varphi}) $. Hãy xây dựng công thức tính độ cong Gauss của $(U,\frac{can}{\varphi}) $. Nêu ví dụ chứng tỏ rằng trên cùng một tập mở $U\subset E^2 $ với những mê-tríc khác nhau, ta có được những đa tạp Riemann có độ cong âm, dương, bằng không. Câu 2: Cho hai mặt $S $ và $\widetilde{S} $ trong $E^3 $ tiếp xúc dọc một đường $\gamma. $ Chứng minh rằng nếu $\gamma $ là một đường tiền trắc địa của $S $ thì nó cũng là một đường tiền trắc địa của $\widetilde{S} $. Câu 3: Cho mặt $S $ trong $E^3 $ tạo bởi đồ thị của hàm $z = x^2+xy+y^2 $. Hãy tính 1) Độ cong Gauss và độ cong trung bình của $S $ tại $O(0,0,0) $. 2) Tính độ cong pháp dạng theo phương tiếp xúc tạo với trục $Ox $ một góc $\varphi $ tại điểm $O(0,0,0) $ của $S. $ 3) Tính độ cong trắc địa của đường tọa độ $x=0 $ nằm trên $S. $ Câu 4: Cho $\gamma $ là đường song chính quy trong $E^3 $. Chứng minh rằng $\gamma $ là đường tiệm cận của mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến chính của $\gamma $