IMO 2015 - Đề thi, lời giải và kết quả đội tuyển

[quocbaoct10]

Câu 2: Theo đề bài, ta đặt $ab-c=2^x, bc-a=2^y,ca-b=2^z$ , giả sử $x \ge y\ ge z$, từ đó ta có $b \ge a \ge c$. Với $y=z$ dễ dàng tìm ra bộ nghiệm $(2,2,2)$. Xét TH $y>z$, giả sử $c > 4$ .
Đầu tiên, ta sẽ chứng minh $3a < b$. Giả sử như $3a > b $ thì $-3a<-b \Leftrightarrow a(c-3) < 2^{z}$ hay $a < 2^{z-1}$.
Ta có:
$\begin{cases}ab-c-bc+a=2^z(2^{x-y}-1)\\ab-c+bc-a=2^z(2^{x+y}+1)\end{cases} \\
\Leftrightarrow \begin{cases}(b+1)(a-c)=2^y(2^{x-y}-1) (1)\\(b-1)(c+a)=2^y(2^{x-y}+1)(2) \end{cases}$(*)
Từ (*) ta thấy nếu $b+1$ chia hết cho 4 thì $b-1$ không chia hết cho 4, hay $c+a$ chia hết cho $2^{y-1}$ hay $a \ge 2^{y-2} \ge 2^{z-1}$ (vô lý). Tương tự như vậy với trường hợp $b-1$ chia hết cho 4 và trường hợp cả $b-1$ lẫn $b+1$ không chia hết cho 4, ta được $3a<b$.

Có:
$\begin{cases}bc-a-ca+b=2^z(2^{y-z}-1)\\bc-a+ca-b=2^z(2^{y-z}+1)\end{cases} \\
\Leftrightarrow \begin{cases}(c+1)(b-a)=2^z(2^{y-z}-1) (1)\\(c-1)(b+a)=2^z(2^{y-z}+1)(2) \end{cases}$ .
Lấy (1) chia (2), được:
$\frac{b-a}{b+a}=\frac{2^{y-z}-1}{2^{y-z}+1}.\frac{c-1}{c+1} \ge \frac{2^{y-z}-1}{2^{y-z}+1}.\frac{1}{2} \\
\Leftrightarrow 2^{y-z} \le \frac{3b-a}{3a-b}$.
Mà $3a-b < 0$ nên $2^{y-z} < 0$ (vô lý). Vậy nên $c \le 4$.
Từ đó tìm ra được các bộ nghiệm ứng với $(a,b,c)$ là $(2,2,2), (2,3,2), (5,7,3), (6,11,2)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]