Topic Hình Học Phẳng

[n.v.thanh]

Nguyên văn bởi LTL

Bài toán này của Vladimir Protassov. Xem cách giải của Jean-Louis Ayme ở [Only registered and activated users can see links. ]

Lời giải bài 69 -Jayme

Gọi M là giao của (BET) và (CFT).Ta sẽ chứng minh M là tâm nội tiếp.
Gọi B',C' là giao của EF với (BET) và (CFT)
1.Chứng minh CMC',BMB' thẳng hàng-Đơn giản
2.Chứng minh B,C,B',C' đồng viên (2 góc đối bù nhau (kẻ thêm tiếp tuyến chung TT.))
Từ đó có BM,CM là phân giác hay M trùng I.Vậy....

Lời giải của cụ này hay thật .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kien10a1]

Em làm 69, mượn hình anh Thanh. Giả sử ET cắt BI tại M, CI cắt TF tại N, MN cắt BC tại S, I T cắt BC tại L.
ta thấy MNCB, NTLC,MTLB nội tiếp
TL là pg trong BTC. S thuộc trục đẳng phương của (INTM) và (CNMB) nên ta đi cm TS là tiếp tuyến của (BTC) là đủ. Điều này tương đương STL cân tại S tương đương SLM đồng dạng SNL, biến đổi góc từ các tg nội tiếp có điều này.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thiendienduong]

Bài 74
Đường tròn $(I) $ nội tiếp $\Delta ABC $, lần lượt tiếp xúc các cạnh $BC $, $CA $, $AB $ tại $D $, $E $, $F $. Đường thẳng qua $A $ và song song với $BC $ cắt $EF $ tại $K $. Gọi $M $ là giao điểm $AD $ với $(I) $, $N $ la điểm đối xứng với $D $ qua $I $. Chung minh rằng: $M $, $N $, $K $ thẳng hàng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Lời giải bài 74

Xét cực và đối cực với (I).
GỌi L là giao của DN và EF.G là trung điểm BC,Z là đối xứng của D qua G.Suy ra A,N,Z thẳng hàng và A,L,G thẳng hàng.

Kết quả quen thuộc là (FELK)=-1 nên đường đối cực của K đi qua L.Suy ra AG là đường đối cực của K nên IG vuông góc với DK nên đường đối cực của G đi qua K suy ra DK là đối cực của G suy ra IG vuông góc với DK,suy ra NZ vuông góc với DK (Do IG là đường trung bình của DNZ).

Như vậy xét tam giác AKD có AN,DN là 2 đường cao suy ra N là trực tâm suy ra KN vuông góc với AD.KN cắt AD tại M' thì NM' vuông góc với M'D suy ra M' thuộc (I).Suy ra dpcm.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conami]

Nguyên văn bởi thiendienduong

[B]Bài 74[/B]
Đường tròn $(I) $ nội tiếp $\Delta ABC $, lần lượt tiếp xúc các cạnh $BC $, $CA $, $AB $ tại $D $, $E $, $F $. Đường thẳng qua $A $ và song song với $BC $ cắt $EF $ tại $K $. Gọi $M $ là giao điểm $AD $ với $(I) $, $N $ la điểm đối xứng với $D $ qua $I $. Chung minh rằng: $M $, $N $, $K $ thẳng hàng.

Lời giải bài 74:

Nếu $AB=AC $ ... dễ chứng minh
Ta chứng minh bài toán với trường hợp $AB<AC $, trường hợp $AB>AC $ chứng minh tương tự.
Trước hết ta có $MN \perp AD $
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $KN \perp AD $ là xong.
Gọi giao điểm của $AN $với $(I) $ là$ L; DN $ với $AK $ là $P $
Từ đây ta có các tứ giác $APEF; FELD $ và $APLD $ nội tiếp
Ta thấy $KP \cdot KA = KE \cdot KF $ và $DL $ là trục đẳng phương của $2 $ đường tròn ngoại tiếp tứ giác $FELD $ và $APLD $
Do đó $K $ thuộc đường thẳng $DL \Rightarrow N $ là trực tâm tam giác $ADK \Rightarrow KN \perp AD $
(ĐPCM)

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[k0r0s]

Bài 75. Cho tam giác nhọn $ABC, M $ là trung điểm $BC. D, E $ là hình chiếu vuông góc của $M $ lên $AB, AC $. Đường tròn $(O1) $ qua $A, B, E $. Đường tròn $(O_2) $ qua $A, C, D $. Chứng minh $O_1O_2 $ song song $BC $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi k0r0s

Bài 75. Cho tam giác nhọn $ABC, M $ là trung điểm $BC. D, E $ là hình chiếu vuông góc của $M $ lên $AB, AC $. Đường tròn $(O1) $ qua $A, B, E $. Đường tròn $(O_2) $ qua $A, C, D $. Chứng minh $O_1O_2 $ song song $BC $.

Bài toán này đã có tại đây : [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[k0r0s]

Bài 76 : Cho tam giac ABC có phân giác trong AD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D lên AB, AC. Gọi H là giao điểm của BF, CE. Chứng minh AH vuông góc BC
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi k0r0s

Bài 76 : Cho tam giac ABC có phân giác trong AD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D lên AB, AC. Gọi H là giao điểm của BF, CE. Chứng minh AH vuông góc BC

Bạn có thể cho mọi người biết bạn lấy đề bài 75 và 76 ở đâu được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[k0r0s]

Tôi đọc được trên mạng mà không nhớ trang nào nữa. Có chi không bạn?Bạn có thể cho mình xin cái nick yahoo được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

BÀi 76
Bài này Ceva ra ngay.

Bài 77 Một bài cũ tiếp
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), $\angle BAD $ tù. Hai điểm M,N nằm trên cạnh BC,CD sao cho $\angle DAM=\angle BAN=90^o $ . Chứng minh rằng MN đi qua O.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TBN_146]

Nguyên văn bởi n.v.thanh

BÀi 76
Bài này Ceva ra ngay.

Bài 77 Một bài cũ tiếp
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), $\angle BAD $ tù. Hai điểm M,N nằm trên cạnh BC,CD sao cho $\angle DAM=\angle BAN=90^o $ . Chứng minh rằng MN đi qua O.

Bài toán khá quen thuộc:Kẻ các đường kính BE,DF.Dễ thấy A,N,E và A,M,F thẳng hàng,từ đó áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm A,E,F,C,B,D ta có M,N,O thẳng hàng

------------------------------
Bài 78:Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O),ngoại tiếp(I).P là 1 điểm nằm trên đường thẳng OI.Các đường tròn đường kính PA,PB,PC,PD lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai A',B',C',D'.Chứng minh rằng AC',CA',BD',DB' đồng quy tại một điểm trên OI
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nguyen Van Linh]

Nguyên văn bởi TBN_146

------------------------------
Bài 78:Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O),ngoại tiếp(I).P là 1 điểm nằm trên đường thẳng OI.Các đường tròn đường kính PA,PB,PC,PD lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai A',B',C',D'.Chứng minh rằng AC',CA',BD',DB' đồng quy tại một điểm trên OI

Xin hỏi bài này bạn lấy nguồn từ đâu vậy?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[k0r0s]

Bài 79: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. T iếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau tại S. Trung trực của AB, AC cắt phân giác trong góc BAC tại M, N. BM, CN cắt nhau tại P. Chứng minh rằng SA đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giac MNP
@novae: Ngoài Ceva còn cách khác không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi k0r0s

Bài 79: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. T iếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau tại S. Trung trực của AB, AC cắt phân giác trong góc BAC tại M, N. BM, CN cắt nhau tại P. Chứng minh rằng SA đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giac MNP
@novae: Ngoài Ceva còn cách khác không?

Tất cả các bài toán bạn post đều có ở đây : [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]