Dãy số_Số học

[choimoinhu]

Cho dãy {$u_n $}($n\geq 1 $) được xác định như sau:

$u_1=0,u_2=4016,u_3=3,u_{n+3}=2008u_{n+1}+u_n $
Chứng minh rằng $u_p $ chia hết cho p với mọi số nguyên tố p.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[math man]

Theo mình thì bài này tìm công thức tổng quát kết hợp với khai triển Newton là xong
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kingmath]

Mình thấy không đơn giản thế,riêng tìm công thứ tổng quát đã rất phức tạp rồi.Để giải tìm nghiệm của phương trình bậc ba thế kia càng phức tạp hơn,cuối cùng(nếu tìm được) thì sẽ có một công thức cực kì dài dòng và hầu như không có liên quan gì đến số học cả, khai triển nhị thức Niu-tơn cũng chả làm được gì.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Math10T]

Nếu làm theo cách của chú math man thì chắc công thức tổng quát nó ác liệt lắm nhỉ?Nhưng mà thực ra các bạn cũng nên nghĩ rằng với trình độ của math man thì 1 bài căn to đến mấy cứ đạo hàm rồi bình phương là ra được ý mà, vì vậy chúng ta hãy chờ tới tối nay để anh ý ra tay biến cái to thành cái nhỏ, biến cái bé thành ko có gì, chắc là tối nay bạn math man sẽ pót cách giải cho chúng ta xem để học hỏi thôi reamer::secretsmile::adore:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[fool90]

Bài này mình chưa giải cụ thể nhưng các bạn làm theo hướng sau:
Chuyển đề bài về :
$u_1=0; u_2=2k ;u_3=3; u_{n+3}=k.u_{n+1}+ u_n $
CM: $u_p \vdots p \forall p \in \mathbb{P} $ với $k $ cố định ( ở đây $k=2008 $)
Để ý thấy :
$u_4=2k^2 $ $u_5=5k $
$u_6=2k^3+3 $ $u_7=7k^2 $
$u_8=2k^4+8k $ $ u_9=9k^3+3 $
$u_{10}=2k^5+15.k^2 $ $u_{11}=11k^4+11$k $
$u_{12}=2k^6+24k^3+3 $ $u_{13}=13k^5+26k^2
.....
$U_{2n} $ là viết dưới dạng đa thức bậc $n $ của k
$U_{2n+1} $ viết dưới dạng đa thứ bậc$ n-1 $ của k.
Đến đây ta thiết hệ thức truy hồi của hệ số bậc .
CM hệ số bậc $\frac{p-1}{3} -3t $ chia hết cho $p $ với mọi $t. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[choimoinhu]

Em thấy có quy luật nhưng vẫn còn mơ hồ quá anh ạ, anh có thể giải thích chi tiết thêm một chút nữa được không ạ, em thấy một lời giải nhưng đi theo đường tương đối khác.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Quân -k47DHV]

Nguyên văn bởi choimoinhu

Em thấy có quy luật nhưng vẫn còn mơ hồ quá anh ạ, anh có thể giải thích chi tiết thêm một chút nữa được không ạ, em thấy một lời giải nhưng đi theo đường tương đối khác.

anh đã hỏi qua anh thực rồi ,đây chỉ là hướng thôi.Theo anh thì việc đưa về đa thức ko phụ thuộc vào k nhưng lại phu thuộc vào bậc của các đa thức,nen chưa giải quyết dc
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Quân -k47DHV]

Cho dãy {$u_n $}($n\geq 1 $) được xác định như sau:

$u_1=0,u_2=2k ,u_3=3,u_{n+3}=ku_{n+1}+u_n $
Chứng minh rằng $u_p $ chia hết cho p với mọi số nguyên tố p.

Bài tương đối hay đấy :hornytoro:
tổng quát hóa bài toán như trên
ta đặt $f(x) = u_1 + u_2 t + u_3 t^2 +...+u_n t^{n-1} +... $
nên $f(t) - kt^2 f(t) - t^3 f(t) = 2kt + 3t^2 $
cân bằng hệ số ta thu được
$u_n = \sum ( ( 2 C^{i}_{\frac{n-2+i}{3} } +3C^{i+1}_{\frac{n-2+i}{3} } ) k^{i+1} $
dễ thấy $2 C^{i}_{\frac{p-2+i}{3} } +3C^{i+1}_{\frac{p-2+i}{3} } $ chia hết cho $p $ .Bài toán đc chứng minh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]