[VMO 2012] Bài 3 - Hình học

[alibaba_cqt]

Câu a) Có thể quy về hết về các góc của tứ giác $ABCD $ như sau:
+) Xét tam giác $PAB $ ta có: $\angle{APB} = 180^0-\angle{PAB}-\angle{PBA}=180^0-\frac{\angle{C}}{2}-\angle{D}-\frac{\angle{B}}{2}=90^0-\frac{\angle{C}}{2}-\frac{\angle{D}}{2} $

+) Xét tam giác $SCD $ ta có $\angle{CSD} = 180^0-\angle{SDC}-\angle{SCD}=180^0-\frac{\angle{D}}{2}-\angle{C}-\frac{\angle{A}}{2}=90^0-\frac{\angle{C}}{2}-\frac{\angle{D}}{2} $

Từ hai ý trên ta có: $\angle{APB}=\angle{CSD} $ hay $PSTQ $ là tứ giác nội tiếp.

Câu b) Chỗ chứng minh $OI\perp MN $ giống n.v.thanh ở trên nhưng chỗ $OE\perp MN $ thay bằng dùng cực và đối cực cho nhanh từ đó suy ra O, I, E thẳng hàng.

Ta thấy $MN $ chính là đường đối cực của điểm $E $ đối với đường tròn $(O) $, theo tính chất cực và đối cực ta có ngay $OE\perp MN $.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]