BĐT-Giả thiết đồng bậc

[MathNMN2016]

Nếu anh tính kỹ hơn thì GTLN của P là 16.


------------------------------
Bài toán 15:


Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$(x+y-z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z})=4. $

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=(x^{5}+y^{5}+z^{5})(\frac{1}{x^{5}}+\frac{1}{y^{ 5}}+\frac{1}{z^{5}}). $

P/S:

Có bạn nào có lời giải cho bài toán 14 chưa ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Nếu anh tính kỹ hơn thì GTLN của P là 16.


------------------------------
Bài toán 15:


Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$(x+y-z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z})=4. $

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=(x^{5}+y^{5}+z^{5})(\frac{1}{x^{5}}+\frac{1}{y^{ 5}}+\frac{1}{z^{5}}). $

P/S:

Có bạn nào có lời giải cho bài toán 14 chưa ạ?

Lại gõ nhầm thôi! 24-8=16.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Bài toán 10:


Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+10yz+zx. $

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=8xyz-\frac{3x^{3}}{y^{2}+z^{2}}. $

P/S:

Bài toán 9 có thành viên nào có ý tưởng chưa ạ?

Sao cũng là bài tương tự nhau! Trong note này, mình thử đưa ra vài đánh giá tổng quát để giảm tính toán nhiều lần.
Đang thưc hiện và chưa hoàn tất.

Điều kiện cho bài 3, 5, 9, 10, 11 đều có dạng
$x^2+y^2+z^2=ax(y+z)+byz$ với $ 4a-b+6>0 $

Đổi các biến $x, S=x+y+z, P'=yz$.
Ràng buộc trở thành \[(a+2)x^2 - (a+2)Sx + S^2 =(b+2)P'.\]

Nếu $ b \ge 2,\, 4a - b + 6>0$ thì

\[0\le x \le \frac{2 a - b + 2 \sqrt{a^2 + b - 2} + 2}{4a - b + 6}S.\]

Lưu ý: $\frac{2 a - b - 2 \sqrt{a^2 + b - 2} + 2}{4 a - b + 6}S \le 0$.

Nếu $ b \ge 2,\, 4a - b + 6>0$ thì
\[0\le \frac{2 a - b - 2 \sqrt{a^2 + b - 2} + 2}{4 a - b + 6}S \le x\le \frac{2 a - b + 2 \sqrt{a^2 + b - 2} + 2}{4a - b + 6}S.\]

Nếu $ 4a-b+6=0 $ và $ a>-1 $ (hay $ 2a-b+4<0 $) thì $x\le \frac{b-2}{2(b-4-2a)}S.$

BPT: \[(4a - b + 6)x^2 - (4a - 2b + 4)Sx + (2 - b)S^2 \le 0.\]

Ta có
\[y^2+z^2= (S-x)^2-2P'=\frac{1}{b+2} \left((b - 2a - 2)x^2 + (2a - 2b)Sx + bS^2
\right).\]


Bài 3: $ a=\frac{6}{5} , b=\frac{6}{5} , y^2+z^2=(3S^2)/8 - x^2,\, x\in \left[S/6, S/3\right].$


Bài 5: $ a= -1, b=2 , P'=S^2 - 4Sz + 4z^2, x^2+y^2=- S^2 + 6Sz - 7z^2, $
($ z, S, P'=xy $), $ z\in \left[ \frac{S}{3}, \frac{3S}{5}\right]. $


Bài 9: $ a=2 , b=2 , P'=S^2/4 - Sx + x^2,\, x\in \left[0, 2S/3\right] $.

Bài 10: $ a=1 , b=10 , P'=S^2/12 - Sx/4 + x^2/4,\, y^2+z^2=5S^2/6 - 3Sx/2 + x^2/2. $, $x\le S$.

Bài 11: $ a=\frac{9}{5} , b=\frac{18}{5},\, y^2+z^2= 9S^2/14 - 9Sx/14 - 5x^2/14,\, $ $x\le 2S/3. $

Phần tính toán cụ thể cho mỗi bài được chèn vào sau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Bài toán 16:


Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$(3x+2y+z)(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z})=30. $

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{y+2z-7\sqrt{72x^{2}+z^{2}}}{x}. $

P/S:

Có thành viên nào có lời giải cho bài toán 12 và 15 chưa ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Đây là tất cả các bài toán mình tổng hợp và lựa chọn cho Chuyên đề 2: Giả thiết Đồng bậc này.

Qua các bài toán này, có một ý tưởng giải chủ đạo ẩn sau nó. Đó là gì?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Bài toán 16:


Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$(3x+2y+z)(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z})=30. $

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{y+2z-7\sqrt{72x^{2}+z^{2}}}{x}. $

Trước khi dẫn đến Ý tưởng chung cho Chuỗi các bài toán này, có thành viên nào có ý tưởng tiếp cận cho bài toán trên chưa?


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Bài toán 16:


Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$(3x+2y+z)(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z})=30. $

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{y+2z-7\sqrt{72x^{2}+z^{2}}}{x}. $

P/S:

Có thành viên nào có lời giải cho bài toán 12 và 15 chưa ạ?

Nháp

Lời giải "kỳ vọng" bên dưới không mang ra một ý gì "tổng quát" mà chỉ hi vọng giảm dần số biến. Từ kỳ vọng được sử dụng là vì "lời giải" được dần dần viết ra và chưa chắc sẽ đến đích.

Trước hết, ta giảm một biến bằng cách chuẩn hóa $x=1$. Khi đó, điều kiện được viết lại thành
\[(3+2y+z)\left(1+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}\right)=30, \]
và $P= y+2z-7\sqrt{72+z^2}.$
Hơn thế nữa, ta nhận ra một bộ số đặc biệt và đơn giản thỏa điều kiện là $(1,2,3)$. Ta cũng "nghĩ rằng" có lẽ đây là điểm cực trị.

Nhận xét:
Đặt $ f(t):=(3+2t+z)(1+\frac{2}{t}+\frac{3}{z})-30.$
Ta có hàm này đồng biến trên $[\sqrt{z}, \infty]$ và nghịch biến trên $(0,\sqrt{z})$.

Bây giờ, nếu như có một đánh giá $y\le a z$ hoặc $y\le b$ thì ta có $P\le g(z)$.

Ta thử lần lượt xét các trường hợp bên dưới.

• TH1: $0<z\le \frac{9}{4}, \, \frac{2}{3}z\le \sqrt{z}, \, f(\frac{2}{3}z) >0=f(y)$.
  
  Nếu $y \le \sqrt{z}$ thì $y \le 3/2 $ thì $P\le g(z):= 3/2+2z-7\sqrt{72+z^2}<-55.$
  
  Nếu $y>\sqrt{z}$ thì $f(\sqrt{z})<0$. Suy ra $z??$
  Suy ra $P\le ?$
• TH2:$ \frac{9}{4}<z\le \frac{18}{7}$
  
  $f(\frac{2}{3}z)>0$
  $z\le \frac{4}{9}, y \le \frac{3}{2}z\le \sqrt{z}$
• TH3: $ \frac{18}{7}< z\le 3$
  
  $f(\frac{2}{3}z)\le 0$
• TH4: $z>3$
  
  
  $f(\frac{2}{3}z)>0$
  
  
  Vì
  $f(y)-f(\frac{2z}{3})=\frac{(z + 3)(2y - 3)(3y - 2z)}{3yz}$ nên
  $f(\frac{2z}{3})\le 0$ khi và chỉ khi $y$ thuộc đoạn có 2 đầu mút là $\frac{3}{2}$ và $\frac{2z}{3}$.
  
  

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Lời giải "kỳ vọng" bên dưới không mang ra một ý gì "tổng quát" mà chỉ hi vọng giảm dần số biến. Từ kỳ vọng được sử dụng là vì "lời giải" được dần dần viết ra và chưa chắc sẽ đến đích.

Trước hết, ta giảm một biến bằng cách chuẩn hóa $x=1$. Khi đó, điều kiện được viết lại thành
\[(3+2y+z)\left(1+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}\right)=30, \]
và $P= y+2z-7\sqrt{72+z^2}.$
Hơn thế nữa, ta nhận ra một bộ số đặc biệt và đơn giản thỏa điều kiện là $(1,2,3)$. Ta cũng "nghĩ rằng" có lẽ đây là điểm cực trị.

Bây giờ, nếu như có một đánh giá $y\le g(z)$ (vài trường hợp đơn giản: $y\le b$, $y\le az+b$) thì ta có $P\le h(z)$.

Thử đánh giá để tìm ra đánh giá sự liên hệ giữa $z$ và $y$.

Điều kiện buộc của bài toán phức tạp ở biểu thức $1+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}.$

Ta sẽ làm đơn giản và làm nhẹ ràng buộc ràng buộc bởi BĐT (đảm bảo dấu bằng "kỳ vọng" xảy ra).
\[1+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}\ge \frac{9}{x+y/2+z/3}.\]

Kết hợp điều kiện ban đầu, ta có $y \le \frac{z}{3}+1$.
Do đó
$P \le \frac{7}{3}z-7\sqrt{72+z^2}$.
Ta chứng minh được $P\le -55$ với mọi $z$.
Dấu bằng đạt được khi $(x,y,z)=(1,2,3)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Nguyên văn bởi Galois_vn

Trước hết, ta giảm một biến bằng cách chuẩn hóa $x=1$(1).

Khi đó, điều kiện được viết lại thành

\[(3+2y+z)\left(1+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}\right)=30, \]
và $P= y+2z-7\sqrt{72+z^2}.$


Thử đánh giá để tìm ra đánh giá sự liên hệ giữa $z$ và $y$.

\[1+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}\ge \frac{9}{x+y/2+z/3}.\](2)

Kết hợp điều kiện ban đầu, ta có $y \le \frac{z}{3}+1$.

Do đó

$P \le \frac{7}{3}z+1-7\sqrt{72+z^2}$.

Lời giải của anh thật ngắn gọn và đơn giản.



Ý tưởng chủ đạo là (1) và (2).

P/S:

Anh chú ý số 1.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]