Phạm trù Baire thứ nhất

[99]

Có bài tập này trong cuốn giải tích hàm của Rudin khá hay :

Cho $X $ là không gian Fréchet vô hạn chiều, chứng minh không gian đối ngẫu $X^{\ast} $ với topo *-yếu thuộc phạm trù thứ nhất trong chính nó.

Bạn nào quan tâm thì giải thử nhé. Câu hỏi : có thể làm nhẹ giả thiết của $X $ được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Chắc là sẽ ít ai quan tâm

Bài Toán này với 99 là thú vị vì để giải nó thì mình phát hiện ra mấy cái hay hay, mặc dù mấy cái đó rất là bé.

Ký hiệu $V_r = B(O,r) $ là các hình cầu mở tâm $O\in X $ với $d $ là metric của $X. $ Với mọi $\Lambda \in X^*, $ do $V_r $ lập thành cơ sở địa phương của $X $ nên tồn tại $r $ (chọn r hữu tỷ) thỏa mãn $|\Lambda x|\leq 1 $ với mọi $x\in V_r. $ Suy ra $\Lambda \in V_r^o, $ ở đây $V_r^o $ là pôla (tuyệt đối) của $V_r $ được định nghĩa như sau $V_r^o = \{\Lambda \in X^* ~:~ |\Lambda x|\leq 1 ~\forall x\in V_r\} $. Mà theo định lý Banach Alaoglu, pola của lân cận của $O\in X $ là tập compact *-yếu.

Từ đó suy ra $X^* $ là hợp đếm được của các tập compact *-yếu, cụ thể là các $V_r^o $ với $r $ hữu tỷ.

Ta chứng minh các $V_r^o $ này là các tập không đâu trù mật, tức là phải chứng minh $int(V_r^o) $ là tập rỗng, lưu ý là $V_r^o $ đã là tập đóng. Nếu $int(V_r^o) $ khác rỗng, thì $V_r^o - V_r^o $ là lân cận của $O\in X^* $ và đồng thời là tập compact. Từ đó suy ra $X^* $ là không gian compact địa phương.

Nếu ta chứng minh được $X^* $ vô hạn chiều, ta sẽ thu được mâu thuẫn, do không gian vector Hausdorff compact địa phương luôn có chiều hữu hạn.

Điều đó quay trở lại bài toán mà 99 đã đặt ra ở đây [Only registered and activated users can see links. ], thật ra là để giải quyết bài tập này.

Sử dụng định lý 3.6 trong Rudin, Functional Analysis, ta chứng minh được nếu $X $ là không gian Hausdorff lồi địa phương, vô hạn chiều thì $X^* $ cũng vô hạn chiều.

Ta kết thúc bằng một vài nhận xét :

Nếu $X $ vô hạn chiều nhưng không lồi địa phương thì $X^* $ không nhất thiết vô hạn chiều : Cụ thể $L^p((0,1))^* =\{0\} $ với $0<p<1 $, độ đo là độ đo Lebesgue.

Giả thiết Frechet của không gian X là không cần thiết, ta chỉ cần không gian lồi địa phương, vô hạn chiều, metric hóa được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vinh1b]

Nguyên văn bởi 99

Chắc là sẽ ít ai quan tâm

Nếu $int(V_r^o) $ khác rỗng, thì $V_r^o - V_r^o $ là lân cận của $O\in X^* $ và đồng thời là tập compact.

99 giải thích kỹ chổ này được không?

Nguyên văn bởi 99

Nếu ta chứng minh được $X^* $ vô hạn chiều, ta sẽ thu được mâu thuẫn, do không gian vector Hausdorff compact địa phương luôn có chiều hữu hạn.

Điều đó quay trở lại bài toán mà 99 đã đặt ra ở đây [Only registered and activated users can see links. ], thật ra là để giải quyết bài tập này.

Sử dụng định lý 3.6 trong Rudin, Functional Analysis, ta chứng minh được nếu $X $ là không gian Hausdorff lồi địa phương, vô hạn chiều thì $X^* $ cũng vô hạn chiều.

Hôm trước có xem topic này nhưng bó tay.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Em chào anh,

Cái chỗ anh thắc mắc là như thế này : Tổng của hai tập compact là compact, đó là bài tập 3d, chương 1, Rudin. Em cũng có gửi lời giải ở đây [Only registered and activated users can see links. ]

Cái topic kia em gửi vì em thấy nó cũng hay, nó cho thấy là tính lồi địa phương rất quan trọng. Trước em toàn học kiểu ào ào, nên ít khi chiêm nghiệm lại. Giờ em có thời gian, nên em tranh thủ xem lại kiến thức cho hiểu hơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

À, em mới nghĩ ra tổng của hai tập compact là tập compact có thể chứng minh đơn giản hơn :

Nếu A, B là hai tập compact của không gian vector topo Hausdorff X, thì tích Đề-các $A\times B $ cũng compact.
Ánh xạ $+ : A\times B \to X $ gửi $(x,y) $ tới $x+y $ là liên tục theo định nghĩa của không gian vector topo. Vì vậy $A+B $ là tập compact.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vinh1b]

Nguyên văn bởi 99

À, em mới nghĩ ra tổng của hai tập compact là tập compact có thể chứng minh đơn giản hơn :

Nếu A, B là hai tập compact của không gian vector topo Hausdorff X, thì tích Đề-các $A\times B $ cũng compact.
Ánh xạ $+ : A\times B \to X $ gửi $(x,y) $ tới $x+y $ là liên tục theo định nghĩa của không gian vector topo. Vì vậy $A+B $ là tập compact.

Cách dùng dãy cổ điển. Còn cách trên ngắn thật(chỉ dùng đ/n không gian vector topo. Tuy vậy tích Đề-các $A\times B $ cũng compact. cũng là một bài tập.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Ừm, anh nói đúng làm chi tiết ra thì bao giờ cũng dài, nhưng mà em nghĩ đôi khi làm phác phác lại vừa dễ hiểu vừa dễ nhớ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[imai.temfa]

Chào bạn 99.
Đọc cái Phạm trù baire thứ nhất, thứ hai mà tui lại có cảm giác sợ.....
Bạn nói "phát hiện ra cái hay hay, tuy nó nhỏ nhoi". Hiếm có người thực sự quan tâm nhiều đến toán cao cấp như bạn nhỉ????
Tôi dở mấy thứ đó lắm, học chẳng hiểu gì, đến giờ cũng chẳng biết gì.
Mong nhận được nhiều bài viết của bạn.
Cám ơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Cám ơn bạn đã khen. 99 có thói quen đọc lại kiến thức cũ, dựa trên quan điểm học được của kiến thức mới, ta nhìn lại mọi thứ đã học, xem có sự thống nhất nào đó không Chứ hồi đại học, 99 cũng chả hiểu gì, nhất là hồi học đại học, các thầy dạy theo cuốn Cơ sở giải tích hàm của thầy Khuê, kiến thức rất tổng quát, nên không hiểu một cái mô-tê gì hết. Giờ có nhiều kiến thức hơn, đọc lại cũng thấy hay hay, nhưng 99 khẳng định là cuốn đó không hợp với sinh viên đại học. Cũng may là các thầy viết thêm cuốn mới, tập trung nhiều hơn vào không gian Banach, thay vì không gian lồi địa phương tổng quát.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]