Tập đóng các số vô tỷ có lực lượng không đếm được

[2M]

Tồn tại hay không tập con A của tập các số vô tỷ R\Q sao cho: A là tập đóng và không đếm được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

Cái này cháu mới học không rành lắm, có gì sai sót, chú góp ý thêm ạ
Đầu tiên ta biết rằng tập $\mathbb{Q}$ là đếm được do đó ta sẽ đánh số các phần tử của nó thành
\[\mathbb{Q} = \left\{ {{q_1},{q_2}, q_3 \ldots ,{q_n}},\ldots \right\}\]
Ta định nghĩa tập
\[{S_k} = \left( {{q_k} - \frac{1}{{{2^{k + 1}}}},{q_k} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}} \right),k \in {\mathbb{N}^*}\]
Và $A = \bigcup\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{S_k}} $ thì tập $A$ này chứa tất cả các số hữu tỉ do đó $\mathbb{R} \setminus A \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ hơn nữa
\[\mu \left( A \right) = \mu \left( {\bigcup\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{S_k}} } \right) \leqslant \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\mu \left( {{S_k}} \right)} = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{2^k}}}} < + \infty \]
Nên tập này của mình không đếm được.
Lại có $A$ mở vì nó là hội các mở nên ${\mathbb{R} \setminus A}$ đóng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi portgas_d_ace

\[\mu \left( A \right) = \mu \left( {\bigcup\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{S_k}} } \right) \leqslant \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\mu \left( {{S_k}} \right)} = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{2^k}}}} < + \infty \]
Nên tập này của mình không đếm được.
Lại có $A$ mở vì nó là hội các mở nên ${\mathbb{R} \setminus A}$ đóng.

Từ này trong câu
"Nên tập này của mình không đếm được" gây hiểu nhầm!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]