Thắc mắc về một bài toán không gian vector

[1110004]

Thầy của em em có cho bài toán như sau:

" Cho $\mathbb{R}^+$ là tập các số thực dương. Trong $\mathbb{R}^+$ ta định nghĩa hai phép toán:

$$\forall x;y\in \mathbb{R}^+ :x\bigotimes y=xy$$

$$\forall a\in \mathbb{R}^+,x\in \mathbb{R}^+ a\times x=x^{a}$$

Biết rằng $(\mathbb{R};\bigotimes ;\times )$ là một không gian vector hãy tìm cơ sở và số chiều của không gian này''

Em có 2 thắc mắc sau:

1) Không gian vector có nhất thiết phải xây dựng trên trường vô hướng không dạ, vành thì có được không ạ !

2) Ý tác giả bài toán là xem như đây là một KGVT với trường vô hướng là $R^+$. Nhưng em không biết trên trường vô hướng này định nghĩa phép cộng và nhân là theo nghĩa thông thường hay theo một cách khác, với cách cộng nhân thông thường thì đây không là trường. (không tìm được phần tử đối). Còn nếu định nghĩa cộng và nhân trong trường vô hướng khác đi thì chắc gì thỏa điều kiện cái trên là 1 KGVT (vì khi đó không thỏa tiên đề $6,7$)

Tóm lại bài toán phán như thánh làm em cũng hoang man!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi 1110004

Thầy của em em có cho bài toán như sau:

" Cho $\mathbb{R}^+$ là tập các số thực dương. Trong $\mathbb{R}^+$ ta định nghĩa hai phép toán:

$$\forall x;y\in \mathbb{R}^+ :x\bigotimes y=xy$$

$$\forall a\in \mathbb{R}^+,x\in \mathbb{R}^+ a\times x=x^{a}$$

Biết rằng $(\mathbb{R};\bigotimes ;\times )$ là một không gian vector hãy tìm cơ sở và số chiều của không gian này''

Em có 2 thắc mắc sau:

1) Không gian vector có nhất thiết phải xây dựng trên trường vô hướng không dạ, vành thì có được không ạ !

2) Ý tác giả bài toán là xem như đây là một KGVT với trường vô hướng là $R^+$. Nhưng em không biết trên trường vô hướng này định nghĩa phép cộng và nhân là theo nghĩa thông thường hay theo một cách khác, với cách cộng nhân thông thường thì đây không là trường. (không tìm được phần tử đối). Còn nếu định nghĩa cộng và nhân trong trường vô hướng khác đi thì chắc gì thỏa điều kiện cái trên là 1 KGVT (vì khi đó không thỏa tiên đề $6,7$)

Câu hỏi 1 của bạn rất hay, tuy nhiên cần phải chỉnh sửa lại một chút. Không gian vector, theo định nghĩa, được xây dựng trên một trường. Nếu thay trường bằng vành, thì ta sẽ có cấu trúc module. Cấu trúc module có cả một lý thuyết riêng về nó, có thể sau này bạn sẽ được học (hoặc có thể tự học).

Còn về câu hỏi 2, mình nghĩ cần phải sửa lại đề bài là
$$ \forall a \in \mathbb{R}, x\in \mathbb{R}^+, \ a \times x=x^a. $$
Khi đó thì $(\mathbb{R}^+,\otimes,\times)$ là một không gian vector trên trường số thực $\mathbb{R}$. Ta có thể thấy trường vector $\mathbb{R}^+$ này đẳng cấu với $\mathbb{R}$ qua ánh xạ $\log$. Như vậy số chiều của nó bằng 1, và cơ sở gồm một số thực dương tùy ý khác 1.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Bài này có trong giáo trình ở chỗ khoa Toán ĐHSP Hà Nội, nhưng mình không cho sinh viên làm, vì nội dung không phù hợp. Nói chung viết sách nhiều khi cứ vẽ vời, mà không căn cứ vào thực tế giảng dạy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[1110004]

Nguyên văn bởi novae

Câu hỏi 1 của bạn rất hay, tuy nhiên cần phải chỉnh sửa lại một chút. Không gian vector, theo định nghĩa, được xây dựng trên một trường. Nếu thay trường bằng vành, thì ta sẽ có cấu trúc module. Cấu trúc module có cả một lý thuyết riêng về nó, có thể sau này bạn sẽ được học (hoặc có thể tự học).

Còn về câu hỏi 2, mình nghĩ cần phải sửa lại đề bài là
$$ \forall a \in \mathbb{R}, x\in \mathbb{R}^+, \ a \times x=x^a. $$
Khi đó thì $(\mathbb{R}^+,\otimes,\times)$ là một không gian vector trên trường số thực $\mathbb{R}$. Ta có thể thấy trường vector $\mathbb{R}^+$ này đẳng cấu với $\mathbb{R}$ qua ánh xạ $\log$. Như vậy số chiều của nó bằng 1, và cơ sở gồm một số thực dương tùy ý khác 1.

Module em đã học rồi ạ. Em cần coi lại cách học rồi hi!!

Nguyên văn bởi 99

Bài này có trong giáo trình ở chỗ khoa Toán ĐHSP Hà Nội, nhưng mình không cho sinh viên làm, vì nội dung không phù hợp. Nói chung viết sách nhiều khi cứ vẽ vời, mà không căn cứ vào thực tế giảng dạy

Em thấy mấy bài loại này coi ra cũng hay vì lý do "bẫy đó để anh chị cảnh giác hơn"
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi 1110004

Em thấy mấy bài loại này coi ra cũng hay vì lý do "bẫy đó để anh chị cảnh giác hơn"

Chẳng có tác dụng gì đâu. Mới học về ĐSTT, quan trọng nhất là biết giải hệ phương trình, tính hạng v.v.

Tóm lại là học Toán là hướng vào cái gì đó, chứ không nên học theo kiểu liệt kê khái niệm. Bạn có thể học nhiều thứ, nhưng điều quan trọng nhất là phải biết cái đó để làm gì. Nếu không để làm gì thì chỉ vài hôm là quên thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]