Tứ giác có diện tích nguyên.

**huynhcongbang** · 21-09-2010, 03:29 AM

Chúng ta có thể giải dễ dàng bài toán như sau:
"Chứng minh rằng có vô số tam giác có độ dài 3 cạnh là các số nguyên phân biệt và diện tích là một số nguyên."
bằng cách xét các tam giác Py-ta-go hoặc tam giác He-ron.

Nhưng với bài toán như sau thì lời giải sẽ như thế nào?
Chứng minh rằng có vô số tứ giác có độ dài 4 cạnh là các số nguyên phân biệt và diện tích là một số nguyên.

vantinyeu · 21-09-2010, 09:44 AM

Trích:

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Chúng ta có thể giải dễ dàng bài toán như sau:
"Chứng minh rằng có vô số tam giác có độ dài 3 cạnh là các số nguyên phân biệt và diện tích là một số nguyên."
bằng cách xét các tam giác Py-ta-go hoặc tam giác He-ron.

Nhưng với bài toán như sau thì lời giải sẽ như thế nào?
Chứng minh rằng có vô số tứ giác có độ dài 4 cạnh là các số nguyên phân biệt và diện tích là một số nguyên.

Cũng tư tưởng như bài tam giác, một tứ giác ghép bằng 2 tam giác, vậy xét tất cả các tứ giác có 2 góc vuông đối diện....cái này cũng dẫn tới bài toán tam giác Pitago....

(Được không nhỉ!

)

**huynhcongbang** · 07-10-2010, 02:12 AM

Chà, cái này phải chứng minh tồn tại vô số bộ 4 số tự nhiên thỏa mãn:
$a^2+b^2=c^2+d^2 $, chắc là không khó nhưng cũng không thấy ngay được.
Cách sau đây có thể thấy ngay đây.

Chọn tam giác vuông OCD có hai cạnh góc vuông có độ dài là các số chẵn khác nhau $2a, 4b $. Gọi A, B lần lượt là trung điểm của OD, OC. Trên OC lấy điểm F sao cho $OF=OA $, trên OD lấy điểm E sao cho $OE = OB $. Khi đó diện tích của tứ giác CDEF dễ dàng tính được là: $S=\frac{1}{2}.2a.4b-\frac{1}{2}.a.2b=3ab $.
Hôm trước quên nói điều kiện tứ giác này không phải là hình thang.
Một bài nghe có vẻ phức tạp nhưng lại giải rất nhẹ nhàng.

**namdung** · 07-10-2010, 04:46 PM

Một cách tự nhiên, bài toán $a^2 + b^2 = c^2 + d^2 $ có thể chuyển về bài toán: $a^2 - c^2 = b^2 - d^2 $. Với bài này chỉ cần tìm một số nguyên dương N có nhiều ước số và giải bài toán a^2 - c^2 = N (bằng cách phân tích ra thừa số) để nhận được nghiệm nguyên của pt nói trên.

Ví dụ chọn N = 15 thì có 2 phân tích 15 = 1.15 và 15 = 3.5, dẫn đến các nghiệm a = 8, c = 7 và b = 4, d = 1. Ta được đẳng thức $8^2 + 1^2 = 7^2 + 4^2 $.

Nói chung, một cách logic ta thấy bài toán tứ giác dễ hơn bài toán tam giác (nếu chỉ yêu cầu chứng minh tồn tại vô số nghiệm).

21-09-2010, 03:29 AM	#1
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Tứ giác có diện tích nguyên. Chúng ta có thể giải dễ dàng bài toán như sau: "Chứng minh rằng có vô số tam giác có độ dài 3 cạnh là các số nguyên phân biệt và diện tích là một số nguyên." bằng cách xét các tam giác Py-ta-go hoặc tam giác He-ron. Nhưng với bài toán như sau thì lời giải sẽ như thế nào? Chứng minh rằng có vô số tứ giác có độ dài 4 cạnh là các số nguyên phân biệt và diện tích là một số nguyên. Đây không phải là dự đoán mà là một bài toán chính xác, mời các bạn cho ý kiến! __________________ Sự im lặng của bầy mèo

07-10-2010, 02:12 AM	#3
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Chà, cái này phải chứng minh tồn tại vô số bộ 4 số tự nhiên thỏa mãn: $a^2+b^2=c^2+d^2 $, chắc là không khó nhưng cũng không thấy ngay được. Cách sau đây có thể thấy ngay đây. Chọn tam giác vuông OCD có hai cạnh góc vuông có độ dài là các số chẵn khác nhau $2a, 4b $. Gọi A, B lần lượt là trung điểm của OD, OC. Trên OC lấy điểm F sao cho $OF=OA $, trên OD lấy điểm E sao cho $OE = OB $. Khi đó diện tích của tứ giác CDEF dễ dàng tính được là: $S=\frac{1}{2}.2a.4b-\frac{1}{2}.a.2b=3ab $. Hôm trước quên nói điều kiện tứ giác này không phải là hình thang. Một bài nghe có vẻ phức tạp nhưng lại giải rất nhẹ nhàng. __________________ Sự im lặng của bầy mèo

07-10-2010, 04:46 PM	#4
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Một cách tự nhiên, bài toán $a^2 + b^2 = c^2 + d^2 $ có thể chuyển về bài toán: $a^2 - c^2 = b^2 - d^2 $. Với bài này chỉ cần tìm một số nguyên dương N có nhiều ước số và giải bài toán a^2 - c^2 = N (bằng cách phân tích ra thừa số) để nhận được nghiệm nguyên của pt nói trên. Ví dụ chọn N = 15 thì có 2 phân tích 15 = 1.15 và 15 = 3.5, dẫn đến các nghiệm a = 8, c = 7 và b = 4, d = 1. Ta được đẳng thức $8^2 + 1^2 = 7^2 + 4^2 $. Nói chung, một cách logic ta thấy bài toán tứ giác dễ hơn bài toán tam giác (nếu chỉ yêu cầu chứng minh tồn tại vô số nghiệm).