VietnamTST 2008

**let** · 30-03-2008, 08:14 PM

KÌ THI CHỌN HỌC SINH VÀO CÁC ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI OLYMPIC QUỐC TẾ NĂM 2008

Bài 1. Trên mặt phẳng, cho góc $xOy $. Xét điểm $M $ thay đổi trên tia $Ox $ và điểm $N $ thay đổi trên tia $Oy $. Kí hiệu $d $ là đường phân giác ngoài của góc $xOy $ và gọi $I $ là giao điểm của $d $ với đường trung trực của đoạn thẳng $MN $. Trên $d $, lấy hai điểm $P, Q $ sao cho $IP = IQ = IM = IN $. Gọi $K $ là giao điểm của các đường thẳng $MQ $ và $NP $.
1/ Chứng minh rằng $K $ luôn nằm trên một đường thẳng cố định, khi $M $ và $N $ thay đổi trên $Ox $ và $Oy $.
2/ Xét các điểm $M, N $ trên các tia $Ox $ và $Oy $ sao cho đường thẳng $d_1 $ vuông góc với $IM $ tại $M $ và đường thẳng $d_2 $ vuông góc với $IN $ tại $N $ đều cắt đường thẳng $d $. Gọi $E, F $ tương ứng là giao điểm của $d_1, d_2 $ với $d $. Chứng minh rằng các đường thẳng $EN, FM $ và $OK $ đồng quy.
Bài 2. Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $m $ sao cho tồn tại các đa thức với hệ số thực $P(x), Q(x), R(x, y) $ thỏa mãn điều kiện: Với mọi số thực $a, b $ mà $a^m-b^2=0 $, ta luôn có $P(R(a, b)) = a $ và $Q(R(a, b)) = b $.
Bài 3. Cho số nguyên $n > 3 $. Kí hiệu $T $ là tập hợp gồm $n $ số nguyên dương đầu tiên. Một tập con $S $ của $T $ được gọi là tập khuyết trong $T $ nếu $S $ có tính chất: Tồn tại số nguyên dương $c $ không vượt quá $\frac{n}{2} $ sao cho với $s_1, s_2 $ là hai số bất kì thuộc $S $ ta luôn có $|s_1-s_2|\neq c $. Hỏi tập khuyết trong $T $ có thể có tối đa bao nhiêu phần tử ?
Bài 4. Cho $m, n $ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $(2m + 3)^n + 1 $ chia hết cho $6m $ khi và chỉ khi $3^n + 1 $ chia hết cho $4m $.
Bài 5. Cho $k $ là số thực dương. Cho tam giác nhọn, không cân $ABC $ có $O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $AD, BE, CF $ là các đường phân giác trong. Trên các tia $AD, BE, CF $ lần lượt lấy các điểm $L, M, N $ sao cho $\frac{AL}{AD}=\frac{BM}{BE}=\frac{CN}{CF}=k $. Kí hiệu $(O_1), (O_2), (O_3) $ tương ứng là đường tròn đi qua $L $ và tiếp xúc với $OA $ tại $A $, đường tròn đi qua $M $ và tiếp xúc với $OB $ tại $B $, đường tròn đi qua $N $ và tiếp xúc với $OC $ tại $C $.
1/ Chứng minh rằng với $k=\frac{1}{2} $, ba đường tròn $(O_1), (O_2), (O_3) $ có đúng hai điểm chung và trọng tâm $G $ của tam giác $ABC $ nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm chung đó.
2/ Hãy xác định tất cả các giá trị $k $ để ba dường tròn $(O_1), (O_2), (O_3) $ có đúng hai điểm chung.
Bài 6. Kí hiệu $M $ là tập hợp gồm $2008 $ số nguyên dương đầu tiên. Tô tất cả các số thuộc $M $ bởi ba màu xanh, vàng, đỏ sao cho mỗi số được tô bởi một màu và mỗi màu đều được dùng để tô ít nhất một số.
Xét các tập hợp:
$S_1 = \{(x, y, z)\in M^3 | x, y, z $ có cùng màu và $(x + y + z)\equiv 0 (mod\ 2008)\} $;
$S_2 = \{(x, y, z)\in M^3 | x, y, z $ đôi một khác màu và $(x + y + z)\equiv 0 (mod\ 2008)\} $.
Chứng minh rằng $2|S_1| > |S_2| $.
($M^3 $ kí hiệu tích Đề các $M\times M\times M $ và $|X| $ kí hiệu số phần tử của tập hữu hạn $X $).

dong1919 · 30-03-2008, 09:20 PM

Bài số , bài đa thức và bài tổ hợp vòng 1 có vẻ dễ ( làm khá gọn

)
Các bài hình chưa thử và cũng sẽ ko thử

còn bài 6 nghe bảo ko ai làm được àh

n.t.tuan · 30-03-2008, 09:59 PM

Trích:

Nguyên văn bởi dong1919

Bài số , bài đa thức và bài tổ hợp vòng 1 có vẻ dễ ( làm khá gọn

)
Các bài hình chưa thử và cũng sẽ ko thử

còn bài 6 nghe bảo ko ai làm được àh

Đông làm thày phán từ bao giờ thế? Thịnh post bài rải ra các box con đi chứ?

**psquang_pbc** · 30-03-2008, 10:05 PM

Bài 2 ngày 1. Nhìn tương đối lạ, để thử xem sao. Post mấy bài khác trước vậy.
Bài 3 ngày 1 kết quả là $\lfloor \frac{2n}{3}\rfloor $. Chia tập khuyết $T $bất kì ra thành 2 phần lớn và bé thua $\frac{n}{2} $ rồi chia tiếp 2 trường hợp :
TH1. Nếu số phần tử bé thua $\frac{n}{2}\ge \frac{|T|}{2}. $.
TH2. Nếu số phần tử lớn hơn $\frac{n}{2}\ge \frac{|T|}{2}. $.
Phần dấu bằng thì chia $n $ theo $\bmod 3 $ thôi nhỉ

.
Bài 1 ngày 2 thì dễ quá rồi

.
Bài 3 ngày 2 hồi trước đọc sách cụ Titu cũng nhớ mang máng thế này

.
Gọi tập nghiệm của phương trình $x^{2008}-1=0 $ là $S $. Khi đó thì đặt 3 đa thức đặc trưng cho mỗi màu là $P_i(x)=\sum_{a\in M_i}x^a $....Khi đó

$S_1=\frac{1}{2008}\sum_{t\in S}P_{i}(t)^3 $
$S_2=\frac{6}{2008}\prod_{t\in S}P_{i}(t) $

Và ta có dpcm. Bịa bài này cũng lời cho ai chịu khó đọc sách cụ Titu nhỉ.
Bài hình thì nhác làm.

**Quân -k47DHV** · 30-03-2008, 10:36 PM

bài 1, bài 5 thì easy rồi nhưng bài 5 vẫn thích hơn cả :hornytoro:

gọi $d $là đường vuông góc với $OA $ tại$ A $ cắt $BC $ tại $A' $ khi đó tam giác$ A'AD $là tam giác cân .nên $A'L \perp AD $.$O_1 $ là trung điểm $AA' $.nên $(O_1) $ sẽ đi qua $H $( chân đường cao hạ từ $A $của tam giác $ABC $) .Tuong tự -> $H $(trực tâm tam giác $ABC $) thuộc trục đẳng phương của cả 3 đường tròn .Mặt khác cũng thấy $OA = OB = OC $.nên $P(O/(O_1) = P(O/O_2) = P(O/O_3). $
suy ra $OH $ thuộc trục đẳng phương của cả 3 đưong tròn và $G \in OH $ đpcm

b, thì $\frac{AO_1 }{AA'} = \frac1k $.dùng véc tơ để tìm đk của$ k $ sao cho $O_1 ,O_2 ,O_3 $ thẳng hàng là được

dong1919 · 30-03-2008, 11:02 PM

khà khà bài 4 thì ta có n lẻ ,$ 3^n+1 \vdots 2m $ là tối đa , nếu $ m \vdots 2 $và thuộc ước của $ 3^n+1 $ thì => $ (2m)^n+1 \neq 3k $ (SD căn nguyên thủy)=> dpcm
còn bài 2 thì ta áp dụng định lý đa thức là xong
bài 6 nếu có trong sách Titu có mà loạn , hồi trước nhớ thời PKH cũng có 1 bài nào đó trùng và thế là thi lại

p/s em làm thầy phán lâu lắm rồi

**psquang_pbc** · 31-03-2008, 01:21 AM

Chẳng phải trùng, trường hợp cho 3, 5 số là những bài đã được phát biểu khác đi và dạng mới rất đẹp.

Trích:

Nguyên văn bởi dong1919

khà khà bài 4 thì ta có n lẻ ,$ 3^n+1 \vdots 4 $ là tối đa , nếu $ m \vdots 4 $và thuộc ước của $ 3^n+1 $ thì => $ (2m)^n+1 \neq 3k $ => dpcm
còn bài 2 thì ta áp dụng định lý đa thức là xong
bài 6 nếu có trong sách Titu có mà loạn , hồi trước nhớ thời PKH cũng có 1 bài nào đó trùng và thế là thi lại

p/s em làm thầy phán lâu lắm rồi

Định lý gì ? Lại chém gió rồi :hornytoro:.

dong1919 · 31-03-2008, 11:36 AM

Hơ định lý cơ bản về đa thức
định lý này chắc ai cũng biết chứ

p/s nếu ko trùng thì sao phải thi lại nhỉ

khà khà lại thêm 1 bài

**psquang_pbc** · 31-03-2008, 12:17 PM

Làm gì trùng

. Số nó khác đi mà, đâu tính trùng được

.

**vănđhkh** · 31-03-2008, 07:46 PM

Năm ngoái 1 bài hình thi VMO đã dùng trục đẳng phương và đến năm nay,thi TST cũng dùng đến trục đẳng phương,không chừng năm sau IMO sẽ dùng trục đẳng phương cũng nên

--> Phán chẳng khác gì ku Đông

dong1919 · 31-03-2008, 10:34 PM

Năm sau thi ĐH ko khéo cũng xài trục đẳng phương đó , anh em cẩn thận nhé

math man · 01-04-2008, 09:44 PM

đề thi này em thấy dễ nhất là bài đa thức
kết quả là n=1.
Khi đó R(a,b)=b
P(x)=$\ x^2 $
Q(x)=x
bài này chỉ cần xét khi n>1 vàn=1 là làm được ngay

30-03-2008, 08:14 PM	#1
let +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 168 Thanks: 16 Thanked 42 Times in 25 Posts	VietnamTST 2008 KÌ THI CHỌN HỌC SINH VÀO CÁC ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI OLYMPIC QUỐC TẾ NĂM 2008 Bài 1. Trên mặt phẳng, cho góc $xOy $. Xét điểm $M $ thay đổi trên tia $Ox $ và điểm $N $ thay đổi trên tia $Oy $. Kí hiệu $d $ là đường phân giác ngoài của góc $xOy $ và gọi $I $ là giao điểm của $d $ với đường trung trực của đoạn thẳng $MN $. Trên $d $, lấy hai điểm $P, Q $ sao cho $IP = IQ = IM = IN $. Gọi $K $ là giao điểm của các đường thẳng $MQ $ và $NP $. 1/ Chứng minh rằng $K $ luôn nằm trên một đường thẳng cố định, khi $M $ và $N $ thay đổi trên $Ox $ và $Oy $. 2/ Xét các điểm $M, N $ trên các tia $Ox $ và $Oy $ sao cho đường thẳng $d_1 $ vuông góc với $IM $ tại $M $ và đường thẳng $d_2 $ vuông góc với $IN $ tại $N $ đều cắt đường thẳng $d $. Gọi $E, F $ tương ứng là giao điểm của $d_1, d_2 $ với $d $. Chứng minh rằng các đường thẳng $EN, FM $ và $OK $ đồng quy. Bài 2. Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $m $ sao cho tồn tại các đa thức với hệ số thực $P(x), Q(x), R(x, y) $ thỏa mãn điều kiện: Với mọi số thực $a, b $ mà $a^m-b^2=0 $, ta luôn có $P(R(a, b)) = a $ và $Q(R(a, b)) = b $. Bài 3. Cho số nguyên $n > 3 $. Kí hiệu $T $ là tập hợp gồm $n $ số nguyên dương đầu tiên. Một tập con $S $ của $T $ được gọi là tập khuyết trong $T $ nếu $S $ có tính chất: Tồn tại số nguyên dương $c $ không vượt quá $\frac{n}{2} $ sao cho với $s_1, s_2 $ là hai số bất kì thuộc $S $ ta luôn có $\|s_1-s_2\|\neq c $. Hỏi tập khuyết trong $T $ có thể có tối đa bao nhiêu phần tử ? Bài 4. Cho $m, n $ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $(2m + 3)^n + 1 $ chia hết cho $6m $ khi và chỉ khi $3^n + 1 $ chia hết cho $4m $. Bài 5. Cho $k $ là số thực dương. Cho tam giác nhọn, không cân $ABC $ có $O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $AD, BE, CF $ là các đường phân giác trong. Trên các tia $AD, BE, CF $ lần lượt lấy các điểm $L, M, N $ sao cho $\frac{AL}{AD}=\frac{BM}{BE}=\frac{CN}{CF}=k $. Kí hiệu $(O_1), (O_2), (O_3) $ tương ứng là đường tròn đi qua $L $ và tiếp xúc với $OA $ tại $A $, đường tròn đi qua $M $ và tiếp xúc với $OB $ tại $B $, đường tròn đi qua $N $ và tiếp xúc với $OC $ tại $C $. 1/ Chứng minh rằng với $k=\frac{1}{2} $, ba đường tròn $(O_1), (O_2), (O_3) $ có đúng hai điểm chung và trọng tâm $G $ của tam giác $ABC $ nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm chung đó. 2/ Hãy xác định tất cả các giá trị $k $ để ba dường tròn $(O_1), (O_2), (O_3) $ có đúng hai điểm chung. Bài 6. Kí hiệu $M $ là tập hợp gồm $2008 $ số nguyên dương đầu tiên. Tô tất cả các số thuộc $M $ bởi ba màu xanh, vàng, đỏ sao cho mỗi số được tô bởi một màu và mỗi màu đều được dùng để tô ít nhất một số. Xét các tập hợp: $S_1 = \{(x, y, z)\in M^3 \| x, y, z $ có cùng màu và $(x + y + z)\equiv 0 (mod\ 2008)\} $; $S_2 = \{(x, y, z)\in M^3 \| x, y, z $ đôi một khác màu và $(x + y + z)\equiv 0 (mod\ 2008)\} $. Chứng minh rằng $2\|S_1\| > \|S_2\| $. ($M^3 $ kí hiệu tích Đề các $M\times M\times M $ và $\|X\| $ kí hiệu số phần tử của tập hữu hạn $X $). __________________ Rồng sa vũng cạn bị lươn ghẹo! Hổ xuống đất bằng bị chó khinh!

30-03-2008, 10:05 PM	#4
psquang_pbc +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 747 Thanks: 9 Thanked 111 Times in 72 Posts	Bài 2 ngày 1. Nhìn tương đối lạ, để thử xem sao. Post mấy bài khác trước vậy. Bài 3 ngày 1 kết quả là $\lfloor \frac{2n}{3}\rfloor $. Chia tập khuyết $T $bất kì ra thành 2 phần lớn và bé thua $\frac{n}{2} $ rồi chia tiếp 2 trường hợp : TH1. Nếu số phần tử bé thua $\frac{n}{2}\ge \frac{\|T\|}{2}. $. TH2. Nếu số phần tử lớn hơn $\frac{n}{2}\ge \frac{\|T\|}{2}. $. Phần dấu bằng thì chia $n $ theo $\bmod 3 $ thôi nhỉ . Bài 1 ngày 2 thì dễ quá rồi . Bài 3 ngày 2 hồi trước đọc sách cụ Titu cũng nhớ mang máng thế này . Gọi tập nghiệm của phương trình $x^{2008}-1=0 $ là $S $. Khi đó thì đặt 3 đa thức đặc trưng cho mỗi màu là $P_i(x)=\sum_{a\in M_i}x^a $....Khi đó $S_1=\frac{1}{2008}\sum_{t\in S}P_{i}(t)^3 $ $S_2=\frac{6}{2008}\prod_{t\in S}P_{i}(t) $ Và ta có dpcm. Bịa bài này cũng lời cho ai chịu khó đọc sách cụ Titu nhỉ. Bài hình thì nhác làm. __________________ [Only registered and activated users can see links. ] No pain, no gain! thay đổi nội dung bởi: psquang_pbc, 30-03-2008 lúc 10:08 PM

30-03-2008, 10:36 PM	#5
Quân -k47DHV +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Đại Học Y Hà Nội Bài gởi: 421 Thanks: 5 Thanked 105 Times in 80 Posts	bài 1, bài 5 thì easy rồi nhưng bài 5 vẫn thích hơn cả :hornytoro: gọi $d $là đường vuông góc với $OA $ tại$ A $ cắt $BC $ tại $A' $ khi đó tam giác$ A'AD $là tam giác cân .nên $A'L \perp AD $.$O_1 $ là trung điểm $AA' $.nên $(O_1) $ sẽ đi qua $H $( chân đường cao hạ từ $A $của tam giác $ABC $) .Tuong tự -> $H $(trực tâm tam giác $ABC $) thuộc trục đẳng phương của cả 3 đường tròn .Mặt khác cũng thấy $OA = OB = OC $.nên $P(O/(O_1) = P(O/O_2) = P(O/O_3). $ suy ra $OH $ thuộc trục đẳng phương của cả 3 đưong tròn và $G \in OH $ đpcm b, thì $\frac{AO_1 }{AA'} = \frac1k $.dùng véc tơ để tìm đk của$ k $ sao cho $O_1 ,O_2 ,O_3 $ thẳng hàng là được __________________ LƯƠNG Y KIÊM TỪ MẪU

30-03-2008, 11:02 PM	#6
dong1919 Sư tổ Kim Dung-CÁI BANG Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: A1K35PBC-Nghệ An Bài gởi: 291 Thanks: 0 Thanked 33 Times in 23 Posts	khà khà bài 4 thì ta có n lẻ ,$ 3^n+1 \vdots 2m $ là tối đa , nếu $ m \vdots 2 $và thuộc ước của $ 3^n+1 $ thì => $ (2m)^n+1 \neq 3k $ (SD căn nguyên thủy)=> dpcm còn bài 2 thì ta áp dụng định lý đa thức là xong bài 6 nếu có trong sách Titu có mà loạn , hồi trước nhớ thời PKH cũng có 1 bài nào đó trùng và thế là thi lại p/s em làm thầy phán lâu lắm rồi thay đổi nội dung bởi: dong1919, 31-03-2008 lúc 11:36 AM

31-03-2008, 12:17 PM	#9
psquang_pbc +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 747 Thanks: 9 Thanked 111 Times in 72 Posts	Làm gì trùng . Số nó khác đi mà, đâu tính trùng được . __________________ [Only registered and activated users can see links. ] No pain, no gain!

30-03-2008, 09:20 PM	#2
dong1919 Sư tổ Kim Dung-CÁI BANG Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: A1K35PBC-Nghệ An Bài gởi: 291 Thanks: 0 Thanked 33 Times in 23 Posts	Bài số , bài đa thức và bài tổ hợp vòng 1 có vẻ dễ ( làm khá gọn ) Các bài hình chưa thử và cũng sẽ ko thử còn bài 6 nghe bảo ko ai làm được àh

31-03-2008, 11:36 AM	#8
dong1919 Sư tổ Kim Dung-CÁI BANG Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: A1K35PBC-Nghệ An Bài gởi: 291 Thanks: 0 Thanked 33 Times in 23 Posts	Hơ định lý cơ bản về đa thức định lý này chắc ai cũng biết chứ p/s nếu ko trùng thì sao phải thi lại nhỉ khà khà lại thêm 1 bài

31-03-2008, 07:46 PM	#10
vănđhkh +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Huế-Quảng Bình Bài gởi: 74 Thanks: 6 Thanked 67 Times in 19 Posts	Năm ngoái 1 bài hình thi VMO đã dùng trục đẳng phương và đến năm nay,thi TST cũng dùng đến trục đẳng phương,không chừng năm sau IMO sẽ dùng trục đẳng phương cũng nên --> Phán chẳng khác gì ku Đông __________________ Thành Văn™_vtv

31-03-2008, 10:34 PM	#11
dong1919 Sư tổ Kim Dung-CÁI BANG Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: A1K35PBC-Nghệ An Bài gởi: 291 Thanks: 0 Thanked 33 Times in 23 Posts	Năm sau thi ĐH ko khéo cũng xài trục đẳng phương đó , anh em cẩn thận nhé

01-04-2008, 09:44 PM	#12
math man +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2008 Bài gởi: 23 Thanks: 0 Thanked 3 Times in 3 Posts	Nhận xét thử đề thi này em thấy dễ nhất là bài đa thức kết quả là n=1. Khi đó R(a,b)=b P(x)=$\ x^2 $ Q(x)=x bài này chỉ cần xét khi n>1 vàn=1 là làm được ngay