Nếu AB-BA khả nghịch thì n chia hết cho 3

luatdhv · 09-03-2011, 03:34 PM

Cho 2 ma trận $A,B $ thực, vuông cấp $n $ thỏa mãn $A^2+B^2=AB $. Chứng minh nếu $AB-BA $ khả nghịch thì $n $ chia hết cho 3.

luatdhv · 13-03-2011, 07:02 PM

Lời giải: Đặt $S=A+ \alpha B $ với $\alpha=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}. $.
Ta có $S\overline{S}=\alpha(BA-AB) $ do vậy $\alpha^n=\frac{det(S).det(\overline{S})}{det(BA-AB)} $ thực, suy ra $n $ chia hết cho 3.

Galois_vn · 21-03-2011, 02:49 PM

Lời giải thật lắm "chiêu".

Chúng ta sẽ học được gì từ lời giải này và bài toán này đem lại lợi ích gì?

study_more_91 · 21-03-2011, 08:28 PM

Trích:

Nguyên văn bởi luatdhv

Lời giải: Đặt $S=A+ \alpha B $ với $\alpha=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}. $.
Ta có $S\overline{S}=\alpha(BA-AB) $ do vậy $\alpha^n=\frac{det(S).det(\overline{S})}{det(BA-AB)} $ thực, suy ra $n $ chia hết cho 3.

cho mình hỏi sao biết tử số thực ?

Galois_vn · 21-03-2011, 09:45 PM

Trích:

Nguyên văn bởi study_more_91

cho mình hỏi sao biết tử số thực ?

$det(S)det(\bar{S})=det(S\bar{S})=det((A+\frac{B}{2 })^2+\frac{3B^2}{4})\in R $

luatdhv · 21-03-2011, 11:09 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Galois_vn

Lời giải thật lắm "chiêu".

Chúng ta sẽ học được gì từ lời giải này và bài toán này đem lại lợi ích gì?

Nếu có thời gian nghiên cứu về ứng dụng của Số phức trong Đại số chắc cũng có nhiều điều thú vị, chẳng hạn bài này: [Only registered and activated users can see links. ]

Constantine · 29-03-2012, 07:09 PM

đây là câu nằm trong đề thi nào đó không nhớ rõ Olympic Quốc tế, vấn đề ở đây là làm sao biết đặt số phức z như lời giải kìa?

99 · 29-03-2012, 07:18 PM

Nó là nghiệm của $x^2 - x +1 = 0$, nên bạn có thể thấy một mối liên hệ nào đó. Nói chung bài toán quá "nhân tạo", chỉ thích hợp cho thi olympic, còn không thích hợp để rèn luyện tư duy

09-03-2011, 03:34 PM	#1
luatdhv Banned Tham gia ngày: Jan 2010 Bài gởi: 402 Thanks: 418 Thanked 120 Times in 75 Posts	Nếu AB-BA khả nghịch thì n chia hết cho 3 Cho 2 ma trận $A,B $ thực, vuông cấp $n $ thỏa mãn $A^2+B^2=AB $. Chứng minh nếu $AB-BA $ khả nghịch thì $n $ chia hết cho 3.

13-03-2011, 07:02 PM	#2
luatdhv Banned Tham gia ngày: Jan 2010 Bài gởi: 402 Thanks: 418 Thanked 120 Times in 75 Posts	Lời giải: Đặt $S=A+ \alpha B $ với $\alpha=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}. $. Ta có $S\overline{S}=\alpha(BA-AB) $ do vậy $\alpha^n=\frac{det(S).det(\overline{S})}{det(BA-AB)} $ thực, suy ra $n $ chia hết cho 3.

21-03-2011, 02:49 PM	#3
Galois_vn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Konoha Bài gởi: 899 Thanks: 372 Thanked 362 Times in 269 Posts	Lời giải thật lắm "chiêu". Chúng ta sẽ học được gì từ lời giải này và bài toán này đem lại lợi ích gì?

29-03-2012, 07:09 PM	#7
Constantine +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2011 Bài gởi: 10 Thanks: 6 Thanked 3 Times in 2 Posts	đây là câu nằm trong đề thi nào đó không nhớ rõ Olympic Quốc tế, vấn đề ở đây là làm sao biết đặt số phức z như lời giải kìa?

29-03-2012, 07:18 PM	#8
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Nó là nghiệm của $x^2 - x +1 = 0$, nên bạn có thể thấy một mối liên hệ nào đó. Nói chung bài toán quá "nhân tạo", chỉ thích hợp cho thi olympic, còn không thích hợp để rèn luyện tư duy