Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 03-03-2012, 09:11 PM   #1
nguyenluucht
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2011
Bài gởi: 24
Thanks: 0
Thanked 30 Times in 10 Posts
Một số bài toán bất đẳng thức trong các đề chọn đội tuyển quốc gia dự thi IMO.

Một số bài toán bất đẳng thức trong các đề chọn đội tuyển quốc gia dự thi IMO.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : doc MOT SO BDT IMO.doc (43.0 KB, 280 lần tải)
nguyenluucht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to nguyenluucht For This Useful Post:
hakudoshi (03-03-2012), nghiepdu-socap (03-03-2012), Raul Chavez (21-10-2012), thinhptnk (03-03-2012)
Old 03-03-2012, 09:56 PM   #2
hoduckhanhgx
+Thành Viên+
 
hoduckhanhgx's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Bài gởi: 40
Thanks: 138
Thanked 45 Times in 15 Posts
Ta có: $\ {\left[ {a + b + \sqrt {2\left( {a + c} \right)} } \right]^3} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {\sqrt {\dfrac{{a + c}}{2}} } \right) + \left( {\sqrt {\dfrac{{a + c}}{2}} } \right)} \right]^3} \ge \dfrac{{27}}{2}\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) $

Suy ra:

$\ \left[ {\sum {{{\left( {\dfrac{1}{{a + b + \sqrt {2\left( {a + c} \right)} }}} \right)}^3}} } \right] \le \sum\limits_{cyc} {\dfrac{2}{{27\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}} = \dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{27\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} $

Cần CM: $\ \dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{27\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le \dfrac{8}{9} $

$\ \Leftrightarrow 6\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge \left( {a + b + c} \right) $

Từ ĐK đề bài ta có: $\ ab + bc + ca \le 16abc\left( {a + b + c} \right) \le \dfrac{{16}}{3}{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} $
$\ \Rightarrow ab + bc + ca \ge \dfrac{3}{{16}} $

Vậy: $\ 9\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 8\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \ge \dfrac{3}{2}\left( {a + b + c} \right) $
$\ \Leftrightarrow 6\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge \left( {a + b + c} \right) $ Q.E.D
Sau đây là một bài cho các bạn luyện thi TST
Cho các số thực $ a, b, c \in \left[ \dfrac{1}{2}, 2 \right] $. Chứng minh rằng
$ 8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \ge 5 \left(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\right)+9 $

Bài này có thể chứng minh bằng AM - GM:
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 3 số ta có:
${x}^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3x}{4} $
${y}^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3y}{4} $
${z}^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3z}{4} $
Cộng ba bất đẳng thức trên lại và kết hợp với điều kiện:
$x + y + z \geq \frac{3}{2} $
ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = y = z = \frac{1}{2} $
Sau đây là một bài cho các bạn luyện thi TST
Cho các số thực $ a, b, c \in \left[ \dfrac{1}{2}, 2 \right] $. Chứng minh rằng
$ 8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \ge 5 \left(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\right)+9 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: hoduckhanhgx, 03-03-2012 lúc 10:34 PM Lý do: Tự động gộp bài
hoduckhanhgx is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to hoduckhanhgx For This Useful Post:
hakudoshi (03-03-2012)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:56 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 46.52 k/50.94 k (8.67%)]