Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2014

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 03-01-2014, 11:34 AM   #1
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,401
Thanks: 2,164
Thanked 4,152 Times in 1,370 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
[VMO 2014] Bài 4 - Hình học phẳng

Bài 4.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với $AB<AC.$ Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK=IC.$ Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $B$ và cắt đường thẳng $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F.$
a. Chứng minh rằng $EF=\frac{BC}{2}$.
b. Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$song song với $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $B$. Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AD.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
hoangqnvip (03-01-2014), liverpool29 (03-01-2014), thaygiaocht (03-01-2014)
Old 03-01-2014, 11:59 AM   #2
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 164
Thanks: 792
Thanked 216 Times in 93 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Bài 4.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với $AB<AC.$ Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK=IC.$ Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $B$ và cắt đường thẳng $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F.$
a. Chứng minh rằng $EF=\frac{BC}{2}$.
b. Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$song song với $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $B$. Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AD.$
a) Theo tính chât đối xứng trục thì $EF$ là đường trung bình của tam giác $KBC$ nên ta có đpcm.
b) Chú ý $\widehat{IPK}=\widehat{IPB}+ \widehat{BPK} =\widehat{ICB}+\widehat{KNB}=90^0$ (do $M$ là trực tâm $IKC$) suy ra $S$ là trung điểm cung lớn $BC.$
Hướng 1: Dùng tính chất $K$ là trực tâm tam giác $ADI$, chứng minh $AKDS$ hình bình hành ($SD||AC, SR||AD$).
Hướng 2: Cần chứng minh $(BCQZ)=-1$ hay $BKCU$ là tứ giác điều hòa, điều này hiển nhiên do $\widehat{IPK}=90^0$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
https://www.facebook.com/thaygiaocht

thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 03-01-2014 lúc 01:03 PM
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to thaygiaocht For This Useful Post:
hoangkute69 (03-01-2014), hoangqnvip (03-01-2014), huynhcongbang (03-01-2014), nguyenquocthuy (03-01-2014)
Old 03-01-2014, 12:09 PM   #3
liverpool29
+Thành Viên+
 
liverpool29's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Đến từ: hue
Bài gởi: 348
Thanks: 425
Thanked 560 Times in 237 Posts
Câu 4:
a) Ta có $EF$ là đường trung bình của tam giác $KBC$ nên ta có đccm.
b) Gọi $L$ là trung điểm $BC$, $T$ là trung điểm $AD$, ta cần chứng minh $\widehat{PKC}=\widehat{TAK}$, hay ta chứng minh $\widehat{CKP}=\widehat{BKL}$, hay ta chứng minh $KP$ là đường đối trung của tam giác $KBC$, hay $KP$ đi qua điểm chính giữa cung $CB$ chứa $A$.
Để ý rằng $K$ là trực tâm của $API$, N là trực tâm của $IKC$, và $KC$ là tiếp tuyến tại $K$ của $(NKB)$ và $\widehat{CKP}=\widehat{DAP}=\widehat{DIP}$ suy ra $KFPI$ nội tiếp, suy ra $\widehat{KPI}=\widehat{KFI}=90$, suy ra $KP$ đi qua điểm chính giữa cung $BC$, ta có đccm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
LIFE HAS SENT TO US A MIRACLE, IT'S GEOMETRY

"Don't try your best. Do your best."

thay đổi nội dung bởi: liverpool29, 03-01-2014 lúc 05:41 PM
liverpool29 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to liverpool29 For This Useful Post:
hoangqnvip (03-01-2014), huynhcongbang (03-01-2014), thaygiaocht (03-01-2014)
Old 03-01-2014, 12:13 PM   #4
TrauBo
Moderator
 
TrauBo's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2011
Đến từ: Hội Fan của thầy Thái (VVT Fan Club)
Bài gởi: 1,058
Thanks: 937
Thanked 1,249 Times in 433 Posts
Câu a) Gọi J là tâm nội tiếp $\Delta ABC$ thì $IJ=IB=IC=IK$.
Trong $(I;IB)$ thì $\widehat{KIJ} = 2\widehat{KCJ} = C$.
Trong $(ABC)$ thì $\widehat{BIJ} = C$.
Suy ra $IJ$ là phân giác $\widehat{KIB}$ hay $AI$ là trung trực $KB$. Tương tự $DI$ là trung trực $KC$, suy ra $E, F$ là trung điểm $KB,KC$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
TrauBo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to TrauBo For This Useful Post:
hoangqnvip (03-01-2014), huynhcongbang (03-01-2014), thaygiaocht (03-01-2014)
Old 03-01-2014, 01:55 PM   #5
AnhIsGod
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: Vô cực
Bài gởi: 266
Thanks: 358
Thanked 48 Times in 32 Posts
Em gọi nhầm điểm S thành điểm chính giữa nhưng thực ra S là điểm đối xứng với I qua O, nhưng sau em vần nói là S,I,O thảng hàng, vẫn làm đúng đoạn sau thì có bị trừ điểm ko ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: AnhIsGod, 03-01-2014 lúc 02:54 PM
AnhIsGod is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2014, 03:44 PM   #6
Nguyen Van Linh
Moderator
 
Tham gia ngày: Aug 2009
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 277
Thanks: 69
Thanked 323 Times in 145 Posts
Gọi $AD$ giao $EF$ tại $G$. Sau khi chứng minh $\angle KPI=90^\circ$, suy ra $(ADI)$ cắt $(EFI)$ tại $P$, hay $P$ là điểm Miquel của tứ giác nội tiếp $AEFD$, tức là $P$ nằm trên $IG$. Theo định lý Brocard suy ra $KP$ đi qua tâm ngoại tiếp của tứ giác $AEFD.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Nguyen Van Linh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Nguyen Van Linh For This Useful Post:
hoangqnvip (03-01-2014), thaygiaocht (03-01-2014)
Old 04-01-2014, 02:27 AM   #7
thienhuong
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2008
Bài gởi: 7
Thanks: 9
Thanked 2 Times in 2 Posts
Theo mình bài hình câu b có thể chưng minh đơn giản hơn. chỉ cần dùng tam giác đồng dạng. để y là 3 điểm P,N,F thẳng hàng suy ra 2 tam giác ATK đồng dạng với PFK và DTK đồng dạng với PFC
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
thienhuong is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-01-2014, 08:49 AM   #8
vinhhai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 5
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
hình vmo 2014

A) $E, F$ lần lượt là trung điểm $KB, KC$ nên $EF = \frac{1}{2} BC$
b) Xét đường tròn $(BKN),$ ta có:
$\angle MKC = \angle MCK = \angle CAD = \angle CAD = \angle NBK$
do đó đường tròn này tiếp xúc $AK.$ Vì tính đối xứng qua $AI$ mà nó cũng tiếp xúc $AB.$
Qua $K$ kẻ đường thẳng song song $AD$ cắt $AP$ tại $X.$
Ta có $\angle KXP= \angle DAP = \angle KBP$ nên $X$ thuộc đường tròn $(BKN).$
Gọi $Y$ là giao điểm của $AP$ và $BD$ khi đó ta có $(AYXP) = -1$
suy ra $K(AYXP) = -1$ mà $DA // KX$ nên $DA$ cắt chùm này tại $D, G, A$ trong đó $G$ là trung điểm $AD$ hay $PK$ đi qua trung điểm $AD$
------------------------------
A) $E, F$ lần lượt là trung điểm $KB, KC$ nên $EF = \frac{1}{2} BC$
b) Xét đường tròn $(BKN),$ ta có:
$\angle MKC = \angle MCK = \angle CAD = \angle CAD = \angle NBK$
do đó đường tròn này tiếp xúc $AK.$ Vì tính đối xứng qua $AI$ mà nó cũng tiếp xúc $AB.$
Qua $K$ kẻ đường thẳng song song $AD$ cắt $AP$ tại $X.$
Ta có $\angle KXP= \angle DAP = \angle KBP$ nên $X$ thuộc đường tròn $(BKN).$
Gọi $Y$ là giao điểm của $AP$ và $BD$ khi đó ta có $(AYXP) = -1$
suy ra $K(AYXP) = -1$ mà $DA // KX$ nên $DA$ cắt chùm này tại $D, G, A$ trong đó $G$ là trung điểm $AD$ hay $PK$ đi qua trung điểm $AD$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: vinhhai, 04-01-2014 lúc 08:56 AM Lý do: Tự động gộp bài
vinhhai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to vinhhai For This Useful Post:
thaygiaocht (04-01-2014)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:37 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 70.96 k/81.01 k (12.41%)]