Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 28-12-2010, 11:01 PM   #1
cuibap
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2009
Bài gởi: 11
Thanks: 7
Thanked 0 Times in 0 Posts
Bất Đẳng Thức cho 4 số không âm

Cho a,b,c,d là các số thực không âm, Chứng minh rằng :
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 1 + abcd \ge ab + bc + cd + da + ac + bd $
Proposed by Alex Anderson, New Trier Township High School, Winnetka, USA
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
cuibap is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-12-2010, 11:27 PM   #2
Unknowing
+Thành Viên+
 
Unknowing's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: THPT Hùng Vương Bình Phước( ۩xứ bụi ۩)
Bài gởi: 303
Thanks: 421
Thanked 302 Times in 164 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Unknowing
Trích:
Nguyên văn bởi cuibap View Post
Cho a,b,c,d là các số thực không âm, Chứng minh rằng :
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 1 + abcd \ge ab + bc + cd + da + ac + bd $
Proposed by Alex Anderson, New Trier Township High School, Winnetka, USA

ta có
$ \sum a^{2}\geq \sum ab $
điều cần cm tương đương

$1+abcd\geq ac+bd $
$\Leftrightarrow (1-ac)(1-bd)\geq 0 $
TH1
$a,b,c,d\in [0;1] $
thì bđt trên đúng
TH2
$a,b,c,d\in [1;+\propto ] $
bđt tương đương
$(ac-1)(bd-1)\geq 0 $
vẩn đúng
suy ra đccm

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$Le~Thien~Cuong $
Unknowing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-12-2010, 11:34 PM   #3
winwave
+Thành Viên+
 
winwave's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 87
Thanks: 23
Thanked 40 Times in 24 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới winwave
Trích:
Nguyên văn bởi Unknowing View Post

ta có
$ \sum a^{2}\geq \sum ab $
điều cần cm tương đương

$1+abcd\geq ac+bd $
$\Leftrightarrow (1-ac)(1-bd)\geq 0 $
TH1
$a,b,c,d\in [0;1] $
thì bđt trên đúng
TH2
$a,b,c,d\in [1;+\propto ] $
bđt tương đương
$(ac-1)(bd-1)\geq 0 $
vẩn đúng
suy ra đccm
thế còn TH $a,c,\in [1;+\propto ] $ còn $b,d\in [0;1] $ thì sao bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
winwave is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-12-2010, 11:37 PM   #4
Anne™
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Bài gởi: 187
Thanks: 32
Thanked 116 Times in 79 Posts
Bạn xét còn thiếu nhiều trường hợp. Phản ví dụ: $a=c=0.5;b=1;d=2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$\LARGE f(u)=\sqrt[n]{e^x}\Rightarrow \textstyle\int \mathbf{e^x=f(u)^n} $
Anne™ is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-12-2010, 11:52 PM   #5
Unknowing
+Thành Viên+
 
Unknowing's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: THPT Hùng Vương Bình Phước( ۩xứ bụi ۩)
Bài gởi: 303
Thanks: 421
Thanked 302 Times in 164 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Unknowing
Trích:
Nguyên văn bởi Anne™ View Post
Bạn xét còn thiếu nhiều trường hợp. Phản ví dụ: $a=c=0.5;b=1;d=2 $

đau thật,quả là thiếu nhiều quá

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$Le~Thien~Cuong $
Unknowing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 30-12-2010, 11:21 AM   #6
coru
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2009
Bài gởi: 4
Thanks: 3
Thanked 3 Times in 3 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi cuibap View Post
Cho a,b,c,d là các số thực không âm, Chứng minh rằng :
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 1 + abcd \ge ab + bc + cd + da + ac + bd $
Proposed by Alex Anderson, New Trier Township High School, Winnetka, USA
theo tui đặt a=x+1, b=y+1,c=z+1,d=t+1...rồi bung nó ra cuối cùng ta được $x^2+y^2+z^2+t^2+xyz+xyt+xzt+yzt+xyzt \ge 0 $. rùi chia trường hợp ra làm....
từ trên ta cũng có bài toán với 3 số ko âm :$a^2 + b^2 + c^2 + 1 + 2abc \ge 2(ab + bc + ac) $
hoặc từ hai bài vừa rùi ta có thể giải bài toán.cho m>=3,n>=1,m,n đều là số tự nhiên.tìm tất cả bộ số (m,n) để bất đẳng thức sau đúng với mọi bộ m số ko âm $A_i $ (thông cảm ,hok biết đánh math)
$A_1^2 + A_2^2 + \ldots + A_m^2 + 1 + nA_1A_2 \ldots A_m \ge n(A_1A_2 + A_1A_3 + \ldots + A_{m-1}A_m) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 30-12-2010 lúc 11:46 AM Lý do: Học gõ LaTeX cẩn thận
coru is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to coru For This Useful Post:
phantiendat_hv (30-12-2010)
Old 23-03-2013, 10:31 PM   #7
Lại Ngọc Hà
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi coru View Post
theo tui đặt a=x+1, b=y+1,c=z+1,d=t+1...rồi bung nó ra cuối cùng ta được $x^2+y^2+z^2+t^2+xyz+xyt+xzt+yzt+xyzt \ge 0 $. rùi chia trường hợp ra làm....
từ trên ta cũng có bài toán với 3 số ko âm :$a^2 + b^2 + c^2 + 1 + 2abc \ge 2(ab + bc + ac) $
hoặc từ hai bài vừa rùi ta có thể giải bài toán.cho m>=3,n>=1,m,n đều là số tự nhiên.tìm tất cả bộ số (m,n) để bất đẳng thức sau đúng với mọi bộ m số ko âm $A_i $ (thông cảm ,hok biết đánh math)
$A_1^2 + A_2^2 + \ldots + A_m^2 + 1 + nA_1A_2 \ldots A_m \ge n(A_1A_2 + A_1A_3 + \ldots + A_{m-1}A_m) $
nếu đặt như bạn thì phải chia nhiều trường hợp lắm. x,y,z,t chạy từ -1 đến +vô cùng. TH: x,y,z,t thuộc (-1,0) thì xét thế nào bạn.
Bạn nói rõ hơn đi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Lại Ngọc Hà is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 23-03-2013, 10:43 PM   #8
quykhtn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2012
Đến từ: Cái nôi của phở
Bài gởi: 259
Thanks: 78
Thanked 697 Times in 193 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi cuibap View Post
Cho a,b,c,d là các số thực không âm, Chứng minh rằng :
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 1 + abcd \ge ab + bc + cd + da + ac + bd $
Proposed by Alex Anderson, New Trier Township High School, Winnetka, USA
Bất đẳng thức này là một hệ qủa của bất đẳng thức Tukervici khá nổi tiếng sau :
Với các số thực không âm $x,y,z,t$ ta luôn có
$$ x^4+y^4+z^4+t^4+2xyzt \geq x^2y^2+y^2z^2+z^2t^2+t^2x^2+x^2z^2+y^2t^2.$$
Bây giờ sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $ 1+abcd \geq 2\sqrt{abcd}.$ Ta chỉ cần chứng minh
$$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2\sqrt{abcd} \ge ab + bc + cd + da + ac + bd.$$
Thay $ a,b,c,d$ bằng $x^2,y^2,z^2,t^2 $ ta thấy đây chính là bất đẳng thức Tukervici !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
The love make us weaker

Autumn
quykhtn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to quykhtn For This Useful Post:
DenisO (11-06-2014)
Old 11-06-2014, 06:18 PM   #9
tson1997
+Thành Viên+
 
tson1997's Avatar
 
Tham gia ngày: Jun 2012
Đến từ: K46 T1 chuyên SP
Bài gởi: 46
Thanks: 42
Thanked 51 Times in 24 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi cuibap View Post
Cho a,b,c,d là các số thực không âm, Chứng minh rằng :
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 1 + abcd \ge ab + bc + cd + da + ac + bd $
Proposed by Alex Anderson, New Trier Township High School, Winnetka, USA


Ta có 2 trường hợp sau:
TH1: $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1) \geq 0 $ khi đó,không mất tính tổng quát,ta giả sử $(a-1)(b-1) \geq 0 ; (c-1)(d-1) \geq 0 $
Hay $ab+1 \geq a+b; cd+1 \geq c+d $

Nhân theo vế ta được : $abcd+1 \geq ac+ad+bc+bd-ab-cd $
Kết hợp với $a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 2ab+2cd $ ta có đpcm

TH2: $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1) \leq 0$
Không mất tính tổng quát,ta có thể giả sử a-1;b-1;c-1 là cùng dấu và khác dấu d-1 (từ đây suy ra ab-1 và c-1 cùng dấu )
Khi đó : $ d(a-1)(b-1) \geq 0 $ hay $ abd +d \geq ad+bd$
$d(ab-1)(c-1) \geq 0 $ hay $abcd+d \geq abd+cd $
Cộng theo vế 2 bđt ta có:
$abcd + 2d \geq ad+bd+cd $

Ta cần cmr : $a^2+b^2+c^2+d^2+1 \geq ab+bc+ca+2d$ (dễ thấy)

Như vậy ta có đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tson1997 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to tson1997 For This Useful Post:
greg_51 (11-06-2014)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:30 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 77.00 k/87.73 k (12.23%)]