Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Đại Số/Algebra

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 06-03-2016, 12:59 AM   #1
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Mở rộng trường

Vì 2 bài này gần như nhau nên em muốn đăng lên một lúc 2 bài ạ.
1) Cho $L_{1}$ và $L_{2}$ là những mở rộng trường $K$. Giả sử $L_{1}$ và $L_{2}$ đều nằm trong một trường $F$ nào đó. Chứng minh rằng $L_{1}L_{2}$ là mở rộng hữu hạn trên $K$ khi và chỉ khi $L_{1}$ và $L_{2}$ đều là các trường mở rộng hữu hạn trên $K$.
2) Cho mở rộng hữu hạn $F/K$ và $L_{1}, L_{2}$ là các trường con của$F$ chứa $K.$
a) chứng minh rằng $[L_{1}L_{2} :K] \le [L_{1} :K][L_{2} :K]$
b) chứng minh rằng đẳng thức xảy ra khi $[L_{1} :K]$ và $[L_{2} : K]$ là các số nguyên tố cùng nhau.
c) cho ví dụ chứng tỏ $[L_{1}L_{2}:K]<[L_{1} :K][L_{2} :K].$
Ở bài 1 em có được hướng dẫn là gọi ${x_i}$ là cở sở của $L_{1}$ và ${y_j}$ là cơ sở của $L_{2}$ chứng minh ${x_{i}y_{j}}$ là tập sinh của $L_{1}L_{2}$. Nhưng khi em lấy phần tử $\frac{f(y_{1}, y_{2},...,y_{n})}{g(y_{1},y_{2},...,y_{n})}$ thì em lại không biết cách biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của ${x_{i}y_{j}}.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 06-03-2016 lúc 01:09 AM
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-03-2016, 02:46 AM   #2
Kelacloi
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 252
Thanks: 50
Thanked 164 Times in 114 Posts
Okay em,
Bài 1:

Anh cũng đặt câu hỏi y chang em, nãy giờ anh đi kiếm sách mới ra câu trả lời cho em . Đúng hơn là 1 đoạn người ta giảng về cấu trúc của mấy thằng mở rộng trường hữu hạn này.

Cũng chẳng qua hiển nhiên đâu, công sức lắm đấy.
I/ABstract
Anh với em gặp chung 1 cái khó chịu là làm sao, biến 1 tính chất trên Không gian Vector về 1 tính chất trên Trường.
Phía dưới thì người ta chỉ ra mối liên hệ.

II/Hướng của người ta :


II/ Sách để tra:
Serge Lang- Algebra - trang 221-235 ( hơi dư , nhưng em theo đại số thì tốt cho em ).
Link: [Only registered and activated users can see links. ]


Bài 2:
a) Anh nghĩ em hiểu đc phần bài 1, thì phần bài 2 k câu này k vấn đề.
b) Anh dự đoán là $[L_1:K]$ chia hết $[L_1L_2:K]$ nên mình có kết quả này.(anh k chac chan nhe )
c) Chọn $L_1,L_2$ sao cho:
i) $[L_1:K]>1$.
ii) $ L_2/L_1$
Vậy là $[ L_1L_2: K]= [L_2:K] < [L_1:K][L_2:K]$
thế là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: Kelacloi, 06-03-2016 lúc 05:57 AM
Kelacloi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-03-2016, 09:23 AM   #3
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Em vẫn chưa hiểu anh ạ!
Nếu gọi ${y_{i}}$ là cơ sở của $L_{2}$ thì $L_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})=L_{1}[y_{1},y_{2},...,y_{n}] $vì đây là một mở rộng hữu hạn nên nó cũng là một mở rộng đại số, mọi phần tử của $L_{1}L_{2}$ đều là đại số trên $L_{1}$ nên nó sẽ có điều trên. Như vậy ta có thể xem trường các thương đa thức như một tổ hợp tuyến tính hay nếu gọi a thuộc $L_{1}L_{2}$ thì ta có:
$a=\frac{f(y_{1},y_{2},...,y_{n})}{g(y_{1},y_{2},. ..,y_{n})}$
$a$ sẽ thuộc $L_{1}[y_{1},y_{2},...,y_{n}] $nên có thể coi $a=h(y_{1},y_{2},...,y_{n})=\sum \alpha_{i}y_{i}$
Em hiểu như trên có gì sai không anh?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 06-03-2016 lúc 09:32 AM
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-03-2016, 10:49 AM   #4
Ngonkhtn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2013
Bài gởi: 60
Thanks: 11
Thanked 16 Times in 15 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MathForLife View Post
Vì 2 bài này gần như nhau nên em muốn đăng lên một lúc 2 bài ạ.
1) Cho $L_{1}$ và $L_{2}$ là những mở rộng trường $K$. Giả sử $L_{1}$ và $L_{2}$ đều nằm trong một trường $F$ nào đó. Chứng minh rằng $L_{1}L_{2}$ là mở rộng hữu hạn trên $K$ khi và chỉ khi $L_{1}$ và $L_{2}$ đều là các trường mở rộng hữu hạn trên $K$.
2) Cho mở rộng hữu hạn $F/K$ và $L_{1}, L_{2}$ là các trường con của$F$ chứa $K.$
a) chứng minh rằng $[L_{1}L_{2} :K] \le [L_{1} :K][L_{2} :K]$
b) chứng minh rằng đẳng thức xảy ra khi $[L_{1} :K]$ và $[L_{2} : K]$ là các số nguyên tố cùng nhau.
c) cho ví dụ chứng tỏ $[L_{1}L_{2}:K]<[L_{1} :K][L_{2} :K].$
Ở bài 1 em có được hướng dẫn là gọi ${x_i}$ là cở sở của $L_{1}$ và ${y_j}$ là cơ sở của $L_{2}$ chứng minh ${x_{i}y_{j}}$ là tập sinh của $L_{1}L_{2}$. Nhưng khi em lấy phần tử $\frac{f(y_{1}, y_{2},...,y_{n})}{g(y_{1},y_{2},...,y_{n})}$ thì em lại không biết cách biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của ${x_{i}y_{j}}.$
1. $L_1L_2$ chứa $L_1,L_2$ nên nếu $L_1L_2$ là k-kgvt hữu hạn chiều, điều đó cũng đúng cho $L_1,L_2$. Ngược lại, nếu $L_1=F(\alpha_i),L_2=F(\beta_i)$ thì $L_1L_2=F(\alpha_i,\beta_i)$. Do $L_i$ là mở rộng hữu hạn nên các $\alpha_i,\beta_i$ là đại số trên F. Như vậy $L_1L_2$ là hữu hạn chiều.
2. Mọi phần tử trong $L_1L_2$ có dạng tổng các tích của các phần tử trong $L_1,L_2$ (trong trường hợp hữu hạn chiều), nên có dạng các F-tổ hợp tuyến tính của $\alpha_i\beta_j$, từ đó ta có kết luận
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Ngonkhtn, 06-03-2016 lúc 11:00 AM
Ngonkhtn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-03-2016, 04:08 PM   #5
Kelacloi
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 252
Thanks: 50
Thanked 164 Times in 114 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MathForLife View Post
Như vậy ta có thể xem trường các thương đa thức như một tổ hợp tuyến tính

hay nếu gọi a thuộc $L_{1}L_{2}$ thì ta có:
$a=\frac{f(y_{1},y_{2},...,y_{n})}{g(y_{1},y_{2},. ..,y_{n})}$
$a$ sẽ thuộc $L_{1}[y_{1},y_{2},...,y_{n}] $nên có thể coi $a=h(y_{1},y_{2},...,y_{n})=\sum \alpha_{i}y_{i}$
Em hiểu như trên có gì sai không anh?
Em thay chữ có thể coi bằng có thể biểu diễn dưới dạng thì chuẩn.



Trích:
Cho $L_1,L_2$ là mở rộng trường $K$. $L_1,L_2$ đều nằm trong 1 trường $F$ nà đó. Ta có các định lý sau:

Định lý 1:. Nếu $L_1/K$ là mở rộng hữu hạn thì $L_1$ là 1 đại số trên $K$.
Chứng minh 1:

Định lý 2: Nếu:
i) $R$ là 1 vành cảm sinh bởi $F$
ii) $R \supset K$
iii) mỗi phần tử của $R$ là 1 số đại số của $K$
Thì $R$ là 1 mở rộng trường $K$.
Chứng minh 2:
.

Quay lại bài toán.
Em gọi $R$ là vành nhỏ nhất nằm trong $F$ và chứa $L_1,L_2$.
Khi đó , $R = { \sum_{n=1}^N x_ny_n$ |x_n \in L_1,y_n \in L_2}$.



[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: Kelacloi, 06-03-2016 lúc 04:14 PM
Kelacloi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:05 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 60.67 k/68.01 k (10.79%)]