Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Hình Học > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 11-11-2010, 07:42 PM   #1
Nguyen Van Linh
Moderator
 
Tham gia ngày: Aug 2009
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 277
Thanks: 68
Thanked 323 Times in 145 Posts
Điểm cố định

Cho (O), dây cung BC cố định. A chuyển động trên đường tròn. Một điểm Q cố định trên mp. Gọi $A_1B_1C_1 $ là tam giác Pedal của Q ứng với tam giác ABC. Gọi X, Y là hai giao điểm của $(A_1B_1C_1) $ với đường tròn Euler của t/g ABC. P là điểm liên hợp đẳng giác của Q trong t/g ABC. M là 1 điểm trên đường vuông góc kẻ từ P tới BC sao cho $\vec{PM}=\vec{u} $ cho trước. CMR trong hai đường thẳng qua X, Y và vuông góc với XM, YM, có một đường thẳng cắt BC tại điểm cố định.

Bài này chế hơi loằng ngoằng nhưng rất thú vị
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Nguyen Van Linh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-11-2010, 05:30 PM   #2
sonltv_94
+Thành Viên+
 
sonltv_94's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2009
Đến từ: Biên Hòa Đồng Nai
Bài gởi: 149
Thanks: 29
Thanked 139 Times in 85 Posts
Em tìm được bài toán tương đương với bài toán này mà cấu hình bớt phức tạp hơn.Tuy vậy thì không biết nó có dễ hơn chút nào không.
Bài toán tương đương:Cho $(O) $ và dây cung $BC $ cố định. $A $ đi động trên $(O).A_1 $ là hình chiếu vuông góc của $Q $ (cố định) trên $BC.F $ là điểm Fontene của $Q.K $ là giao của $QA_1 $ với vòng tròn Pedal của $Q $.Chứng minh $\widehat{XKA_1} = constant $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Vĩnh biệt Toán,vĩnh biệt Mathscope....
sonltv_94 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-11-2010, 08:59 PM   #3
sonltv_94
+Thành Viên+
 
sonltv_94's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2009
Đến từ: Biên Hòa Đồng Nai
Bài gởi: 149
Thanks: 29
Thanked 139 Times in 85 Posts
Trước hết ta cần 3 bổ đề
Bổ đề 1 :Cho tam giác $ABC.P $ là 1 điểm tùy ý trong tam giác $A_1B_1C_1 $ là tam giác Pedal của $P.F $ là điểm $\textbf {Fontene} $ của $P $.Trên đường cao hạ từ $A $ lấy điểm $Q $ sao cho $AQ = PA_1 $ thì khi đó đường tròn đường kính $QA_1 $ đi qua $F $
Chứng minh
+Gọi $A_2;B_2;C_2 $ lần lượt là trung điểm của $BC;CA;AB $
+Ta có qua phép đối xứng trục $B_2C_2 : (AP) \mapsto (QA_1) $.Đặt $U;V \equiv (AP) \cap (QA_1) \Rightarrow B_2;C_2;U;V $ thẳng hàng.$L \equiv B_2C_2 \cap B_1C_2 $ theo định lý $\textbf {Fontene} $ thì $L;F;A_1 $ thẳng hàng
+Tới đây ta nhận được $\overline{LU}.\overline{LV} = \overline{LC_1}.\overline{LB_1} = \overline{LF}.\overline{LA_1} $.Hoàn tất bổ đề



Bổ đề 2:Gọi $P' $ là điểm đẳng giác liên hợp của $P.A_3B_3C_3 $ là tam giác Pedal của $P' $ thì đường thẳng simson của $F $ đối với tam giác $A_3B_3C_3 $ song song với $OP $
*Sẽ post cách chứng minh bổ đề này sau

Bổ đề 3:Cho $\triangle ABC $ nội tiếp $(O).E;F $ là 2 điểm thuộc $(O) $ thì góc giữa 2 đường thẳng $\textbf{Simson} $ của $E;F $ đối với $\triangle ABC $ bằng nửa số đo cung $EF $
TRỞ LẠI VỚI BÀI TOÁN:
+Gọi $ \triangle A_2B_2C_2 $ là tam giác Pedal của $P $
+Đường thẳng vuông góc với $XM $ tại $X $ cắt $BC $ tại $R.J $ là xuyên tâm đối của $A_1 $ trong đường tròn Pedal.Theo bổ đề 2 thì $PJ = QA_1 \Rightarrow JM = constant $ và $\triangle JXM \sim \triangle RXA_1 \Rightarrow \dfrac {RA_1}{JM} = \dfrac {XA_1}{JX} = tan{\widehat{XJA_1}} $
+Ta sẽ chứng minh góc $\widehat{XJA_1} = constant(*) $ Số đo cung $XA_1 $ gấp đôi góc giữa đường thẳng Simson của $X;A_1 $ đối với $\triangle A_2B_2C_2 $ (Bổ đề 3).Mặt khác thì theo bổ đề 2 $OQ $ song song với đường thẳng Simson của $X $ đối với $\triangle A_2B_2C_2 $(Ta gọi đường thẳng này là $d $).Vậy để chứng minh $(*) $ ta sẽ chứng minh $(d;OQ) =constant $ hay nói cách khác là chứng minh $(d;BC) =constant(**) $
+Ta có $(d;BC) = \widehat{C_2A_2B_2} + 2 \widehat{B_2A_2A_1} - \dfrac{\pi}{2} = \widehat{QBC} + \widehat{QCB} +\dfrac {\pi}{2} - 2\widehat{QCB} = constant $.Tới đây ta nhận được $(**) $.Vậy $R $ cố định.đpcm

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : jpg bổ đề 1.jpg (11.4 KB, 107 lần tải)
Kiểu File : jpg bài toán.jpg (12.3 KB, 103 lần tải)
__________________
Vĩnh biệt Toán,vĩnh biệt Mathscope....

thay đổi nội dung bởi: sonltv_94, 20-11-2010 lúc 11:09 PM
sonltv_94 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to sonltv_94 For This Useful Post:
henry0905 (23-12-2012)
Old 24-10-2016, 03:55 PM   #4
dohoangviet
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2016
Đến từ: tpcl
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
đề bài rất hay phải áp dụng nhiều kiến thức mới giải ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
dohoangviet is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:37 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 51.41 k/57.58 k (10.72%)]