Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Đại Số/Algebra

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 18-11-2016, 09:21 PM   #1
hieut1k24
+Thành Viên+
 
hieut1k24's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2014
Bài gởi: 70
Thanks: 12
Thanked 24 Times in 23 Posts
Tìm giới hạn

Tìm các giới hạn sau :
a, $I= \lim_{x\rightarrow +\infty } \left [ (x+1)^{a}-x^{a} \right ]$ với $a\in (0;1)$
b, $I = \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{1.1!+2.2!+...+x.x!}{(x+1)!}$
c, $I = \lim_{x\rightarrow +\infty }(1+\frac{1}{n^{2}})(1+\frac{2}{n^{2}})...(1+\frac {n}{n^{2}})$ với $n\in N$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
hieut1k24 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-11-2016, 07:35 PM   #2
portgas_d_ace
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Đến từ: HCMUS
Bài gởi: 497
Thanks: 156
Thanked 186 Times in 157 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới portgas_d_ace
Câu a.
Áp dụng định lý Larange cho hàm $f\left( t \right) = {t^a}$ thì tồn tại $\xi \in \left( {x,x + 1} \right)$ sao cho
\[{\left( {x + 1} \right)^a} - {x^a} = a{\xi ^{a - 1}}\]
Vậy khi $x \to \infty$ ta sẽ có
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^a} - {x^a}} \right] = 0\]
Câu b.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {k \cdot k!} }}{{\left( {n + 1} \right)!}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {n + 1} \right)! - 1}}{{\left( {n + 1} \right)!}} = 1\]
Câu c.
Áp dụng bđt $\ln \left( {1 + x} \right) \geqslant \frac{{2x}}{{2 + x}}$ ta sẽ có
\[\ln \left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right) \geqslant \frac{{2k}}{{2{n^2} + k}} \geqslant \frac{{2k}}{{2{n^2} + n}}\]
Do đó
\[\sum\limits_{k = 1}^n {\ln \left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right)} \geqslant \frac{1}{{2{n^2} + n}}\sum\limits_{k = 1}^n {2k} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{n^2} + 1}}\]
Vậy nên
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln \left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right)} \geqslant \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{1}{2}\]
Mặc khác áp dụng bđt $\ln \left( {1 + x} \right) \leqslant \frac{x}{{\sqrt {x + 1} }}$ ta sẽ có
\[\ln \left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right) \leqslant \frac{k}{{n\sqrt {{n^2} + {k}} }}\]
Do đó
\[\sum\limits_{k = 1}^n {\ln \left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right)} \leqslant \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{n\sqrt {{n^2} + k} }}} \leqslant \frac{1}{{{n^2}}}\sum\limits_{k = 1}^n k = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{n^2}}}\]
Vậy nên
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln \left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right)} \leqslant \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{n^2}}} = \frac{1}{2}\]
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln \left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right)} = \frac{1}{2}$ hay $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right)} = \sqrt e $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
- Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị -

thay đổi nội dung bởi: portgas_d_ace, 19-11-2016 lúc 07:58 PM
portgas_d_ace is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to portgas_d_ace For This Useful Post:
hieut1k24 (22-11-2016)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:57 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 42.75 k/47.07 k (9.18%)]