Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tổ Hợp > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 09-12-2007, 02:35 PM   #1
psquang_pbc
+Thành Viên Danh Dự+
 
psquang_pbc's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 747
Thanks: 9
Thanked 111 Times in 72 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới psquang_pbc
Hoán vị của 2n số nguyên dương đầu tiên

Cho số nguyên $n\ge 1 $. Xét hoán vị $(a_1,a_2,...,a_{2n}) $ của $2n $ số nguyên dương đầu tiên sao cho các số $|a_{i+1}-a_i|,i=1,2,...,2n-1 $ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: $a_1-a_{2n}=n $ khi và chỉ khi $1\le a_{2k}\le n,k=1,2,..,n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
[Only registered and activated users can see links. ]

No pain, no gain!
psquang_pbc is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-12-2007, 03:50 PM   #2
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
We have
$\sum\limit_{i = 1}^{2n}|a_{i + 1} - a_{i}| + \sum\limit_{i = 1}^{2n}|a_{i + 1} + a_i| = 2\sum\limit_{i = 1}^{2n}max\{a_{i + 1};a_i\} $
Thus, $\sum\limit_{i = 1}^{2n}|a_{i + 1} - a_i| = 2\sum\limit_{i = 1}^{2n}max\{a_{i + 1};a_i\} - 2\sum\limit_{i = 1}^{2n}a_i $. Hence, $(\sum\limit_{i = 1}^{2n - 1}|a_{i + 1} - a_i|) + |a_1 - a_{2n}| = 2\sum\limit_{i = 1}^{2n}max\{a_{i + 1};a_i\} - 2n(2n + 1) $. (*)

Because $2n - 1 $ numbers $|a_{i + 1} - a_i| $ are distinct and $|a_{i + 1} - a_i|\le 2n - 1 $. Then,
$\sum\limit_{i = 1}^{2n - 1}|a_{i + 1} - a_i| = 1 + 2 + ... + 2n - 1 = n(2n - 1) $. (**)
From (*) and (**) we have $|a_1 - a_{2n}| = 2\sum\limit_{i = 1}^{2n}max\{a_{i + 1};a_i\} - 2n(2n + 1) - n(2n - 1) $.
$= 2\sum\limit_{i = 1}^{2n}max\{a_{i + 1};a_i\} - 4n^2 - n $.

If, $a_1 - a_{2n} = n $ we have $\sum\limit_{i = 1}^{2n}max\{a_{i + 1};a_i\} = 3n^2 + n $. (1)

But, $\sum\limit_{i = 1}^{2n}max\{a_{i + 1};a_i\}\le 2(2n + 2n - 1 + ... + n + 1) = 2n(2n + 1) - n(n + 1) = 3n^2 + n $ (2)

From $(1); (2) $we have either $\{a_1;a_3;...;a_{2n - 1}\} = \{1;2;..;n\} $ or $\{a_2;...;a_{2n}\} = \{1;2;...;n\} $.

But $a_1 - a_{2n} = n $ hence, $\{a_2;...;a_{2n}\} = \{1;2;...;n\} $

If $\{a_2;..;a_{2n}\} = \{1;2;...;n\} $ so, $\sum\limit_{i = 1}^{2n}max\{a_{i + 1};a_i\} = 3n^2 + n $.
Hence, $|a_1 - a_{n}| = 2(3n^2 + n) - 4n^2 - n = n $ therefore, $a_1 - a_{2n} = n $

It looks easy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-12-2007, 04:12 PM   #3
psquang_pbc
+Thành Viên Danh Dự+
 
psquang_pbc's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 747
Thanks: 9
Thanked 111 Times in 72 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới psquang_pbc
Dạ không khó tí nào cả, nó là 1 bài của zaizai post bên VMF, em lôi sang thôi .

Bác Quý xài tiếng Anh ghê quá

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
[Only registered and activated users can see links. ]

No pain, no gain!
psquang_pbc is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-12-2007, 04:15 PM   #4
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
cái này là bài post hồi cấp 3 trên ML ấy mà, giờ thì gà English lắm. Spam
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 09:51 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 51.17 k/57.16 k (10.49%)]