Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 27-02-2010, 10:44 PM   #1
Thanh vien
+Thành Viên+
 
Thanh vien's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Bài gởi: 120
Thanks: 68
Thanked 70 Times in 40 Posts
Icon1 Giải phương trình nghiệm nguyên dương

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$x^{2009}+y^{2009}=(x+y)^{2008}+(xy)^{1004} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thanh vien is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-09-2010, 08:37 PM   #2
Thanh vien
+Thành Viên+
 
Thanh vien's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Bài gởi: 120
Thanks: 68
Thanked 70 Times in 40 Posts
Cho a, b, n là các số tự nhiên (a<10, n>3) thỏa mãn $2^n=10a+b $. Chứng minh ab chia hết cho 6.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thanh vien is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 18-09-2010, 04:39 PM   #3
khoile101
Banned
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: THPT Chuyen Ha tinh
Bài gởi: 75
Thanks: 58
Thanked 27 Times in 19 Posts
Bài 1 hình như là vô ngiệm,cái này có trong toán học tuổi trẻ
------------------------------
Bài 2 có lỗi,giả dụ a=7 ,b=58,n=7 thì sao
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: khoile101, 18-09-2010 lúc 04:45 PM Lý do: Tự động gộp bài
khoile101 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 21-09-2010, 09:43 PM   #4
Thanh vien
+Thành Viên+
 
Thanh vien's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Bài gởi: 120
Thanks: 68
Thanked 70 Times in 40 Posts
Icon1

Trích:
Nguyên văn bởi khoile101 View Post
Bài 1 hình như là vô ngiệm,cái này có trong toán học tuổi trẻ
------------------------------
Bài 2 có lỗi,giả dụ a=7 ,b=58,n=7 thì sao
Xin lỗi bạn, mình gõ nhầm. Đề đúng phải là:
Cho a, b, n là các số tự nhiên (b<10, n>3) thỏa mãn $2^n=10a+b $ (tức là $2^n=\overline{ab} $, a có thể >10). Chứng minh a.b chia hết cho 6.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thanh vien is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-10-2010, 11:04 PM   #5
Thanh vien
+Thành Viên+
 
Thanh vien's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Bài gởi: 120
Thanks: 68
Thanked 70 Times in 40 Posts
Giải pt nghiệm nguyên dương:
$(x+y)(1+xy)=2^z $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thanh vien is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-10-2010, 01:33 AM   #6
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,401
Thanks: 2,164
Thanked 4,152 Times in 1,370 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Đây chính là đề VMO bảng B năm 2004. Lời giải khá rắc rối.
Giả sử $x \le y $.
Gợi ý là: chứng minh được $x, y $ cùng lẻ và tồn tại số nguyên dương $m<z $ sao cho có các đẳng thức:
$x+y=2^m, 1+xy=2^{z-m} $.
Chứng minh: $2m \le z $.
- Trong trường hợp $x = 1 $ thì thay vào và giải từ từ là ra.
- Với $x>1 $ thì từ đẳng thức:
$x^2-1=x(x+y)-(1+xy)=2^m(x-2^{z-2m}) $, suy ra $x+1 $ chia hết cho $2^{m-1} $, mà $x+1<x+y=2^m $ nên $x+1=2^{m-1} $.
Từ đây tìm được các nghiệm của bài toán.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 13-10-2010 lúc 01:44 AM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-10-2010, 11:10 PM   #7
Thanh vien
+Thành Viên+
 
Thanh vien's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Bài gởi: 120
Thanks: 68
Thanked 70 Times in 40 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Thanh vien View Post
Giải pt nghiệm nguyên dương:
$(x+y)(1+xy)=2^z $
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Đây chính là đề VMO bảng B năm 2004. Lời giải khá rắc rối.
Hì, bài này cũng không khó lắm.
Anh có thể giúp em bài trên được không ạ?
Trích:
Nguyên văn bởi Thanh vien View Post
Cho a, b, n là các số tự nhiên (b<10, n>3) thỏa mãn $2^n=10a+b $ (tức là $2^n=\overline{ab} $, a có thể >10). Chứng minh a.b chia hết cho 6.
Đây là bài thi HSGQG lớp 9 trước đây đấy ạ .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Thanh vien, 13-10-2010 lúc 11:13 PM
Thanh vien is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 14-10-2010, 12:50 AM   #8
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,401
Thanks: 2,164
Thanked 4,152 Times in 1,370 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi Thanh vien View Post
Xin lỗi bạn, mình gõ nhầm. Đề đúng phải là:
Cho a, b, n là các số tự nhiên (b<10, n>3) thỏa mãn $2^n=10a+b $ (tức là $2^n=\overline{ab} $, a có thể >10). Chứng minh a.b chia hết cho 6.
Trước hết, rõ ràng là b phải chẵn vì đây là biểu diễn lũy thừa cơ số 2, ta chỉ cần chứng minh trong a và b, phải có 1 số chia hết cho 3 là xong.
Quan sát lũy thừa của 2, ví dụ như:
$2\rightarrow 4\rightarrow 8\rightarrow 16\rightarrow 32\rightarrow 64\rightarrow 128\rightarrow 512\rightarrow ... $.
Ta thấy rằng nếu b chia hết cho 3 thì a chia 3 dư 1, ta sẽ chứng minh điều này và từ đó c/m luôn bài toán đã nêu.
Thật vậy, dùng quy nạp cho tiện lập luận.
- Với $n=4 $, kết luận đúng vì $b=6 $, chia hết cho 3 và a là 1 chia 3 dư 1.
-Giả sử với $n=k $, bài toán vẫn đúng, tức là $ab \vdots 3 $.
Ta xét hai trường hợp:
- Nếu b là 2 hoặc 4 thì: $2b<10 $, suy ra: $2^{k+1}=2.2^k=10.2a+2b $. Khi đó: $(2a).(2b) \vdots 3 $, kết luận đúng trong trường hợp $k+1 $.
- Nếu b là 6 thì a chia 3 dư 1, khi đó: $2^{k+1}=2.2^k=10.2a+2b=10(2a+1)+2 $
và $2(2a+1)\vdots 3 $.
- Nếu b là 8 thì $2^{k+1}=2.2^k=10.2a+2b=10(2a+1)+6 $.
Dễ thấy $6(2a+1) \vdots 3 $. Chú ý rằng trong trường hợp này thì a chia hết cho 3 nên 2a+1 chia 3 dư 1.
Do đó, nhận xét hoàn toàn đúng với $n = k+1 $.
Theo nguyên lí quy nạp, ta có đpcm.


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 14-10-2010 lúc 12:52 AM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
Thanh vien (03-11-2010)
Old 02-11-2010, 09:31 PM   #9
Thanh vien
+Thành Viên+
 
Thanh vien's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Bài gởi: 120
Thanks: 68
Thanked 70 Times in 40 Posts
Dốt mấy phần này quá đi !!
[Hàn Quốc 1988] Giải phương trình nghiệm nguyên:
$x^2+y^2+z^2=x^2y^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thanh vien is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 02-11-2010, 11:16 PM   #10
thangk50
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2010
Bài gởi: 73
Thanks: 7
Thanked 28 Times in 16 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Thanh vien View Post
Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$x^{2009}+y^{2009}=(x+y)^{2008}+(xy)^{1004} $
Bài này có thể giải như sau: đặt $(x,y)=d, x=d.z, y=d.t, (z,t)=1 $. Thay vào phương trình ta được
$(z^{2009}+t^{2009})d=(z+t)^{2008}+(zt)^{1004} $
do $z^{2009}+t^{2009 $ chia hết cho $z+t $
suy ra $(zt)^{1004} $ chia hết cho $z+t $ nhưng $(z,t)=1 $ nên $(zt,z+t)=1 $ vô lý
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi Thanh vien View Post
Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$x^{2009}+y^{2009}=(x+y)^{2008}+(xy)^{1004} $
Bài này có thể giải như sau: đặt $(x,y)=d, x=d.z, y=d.t, (z,t)=1 $. Thay vào phương trình ta được
$(z^{2009}+t^{2009})d=(z+t)^{2008}+(zt)^{1004} $
do $z^{2009}+t^{2009 $ chia hết cho $z+t $
suy ra $(zt)^{1004} $ chia hết cho $z+t $ nhưng $(z,t)=1 $ nên $(zt,z+t)=1 $ vô lý
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: thangk50, 02-11-2010 lúc 11:21 PM Lý do: Tự động gộp bài
thangk50 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Tags
30/4, chọn đội tuyển

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:11 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 78.64 k/90.61 k (13.21%)]