Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 08-11-2010, 11:47 PM   #1
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,397
Thanks: 2,158
Thanked 4,147 Times in 1,367 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Tam giác có chu vi và diện tích đều nguyên

Cho dãy số $(u_n) $ xác định như sau:
$u_n = (2+\sqrt{3})^n + (2 - \sqrt{3})^n, n = 1,2, 3,... $.
Gọi $T_n $ là tam giác có ba cạnh lần lượt là $u_n-1, u_n, u_n+1 $. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương:
1. Chu vi của tam giác này nguyên.
2. Diện tích của tam giác này nguyên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 09-11-2010 lúc 09:14 AM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-11-2010, 12:00 AM   #2
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
[Only registered and activated users can see links. ]
--------------------------------
Đặt $a_n=(2+\sqrt3)^2,b_n=(2-\sqrt3)^n $
$\Rightarrow u_n=a_n+b_n,a_n . b_n=1 $
Gọi $P_n, S_n $ là chu vi, diện tích của $T_n $
Bằng quy nạp, ta chứng minh được dãy $\{u_n\} $ thỏa mãn hệ thức truy hồi: $u_1=4,u_2=14,u_{n+1}=4u_n-u_{n-1} $ nên $u_n \in \mathbb{N}^* $. Suy ra $P_n \in \mathbb{N}^* \; \forall n\in \mathbb{N}^* $
Gọi $p_n $ là nửa chu vi của $T_n $, ta có $p_n= \frac{3u_n}{2} $
Áp dụng công thức Herone, ta có $S_n^2=\frac{3}{16} (u_n^4-4u_n^2) $. Ta có:
$u_n^4=(a_n+b_n)^4=a_n^4+b_n^4+4(a_n^2+b_n^2)+6 $
$u_n^2=(a_n+b_n)^2=a_n^2+b_n^2+2 $
$\Rightarrow S_n^2=\frac{3}{16}(a_n^2-b_n^2)^2 $
$\Rightarrow S_n=\frac{\sqrt3}{4}\left((2+\sqrt3)^{2n}-(2-\sqrt3) ^{2n}\right) $
Ta có thể dùng công thức nhị thức Newton để chứng minh $S_n $ nguyên hoặc chứng minh $S_n $ thỏa mãn hệ thức truy hồi $S_1=6,S_2=84,S_{n+1}=14S_n-S_{n-1} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : jpg 20108216322_Heron.JPG (175.5 KB, 11 lần tải)
__________________
M.

thay đổi nội dung bởi: novae, 09-11-2010 lúc 09:25 AM
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:00 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 43.33 k/47.81 k (9.37%)]