Một bài chia hết

[alltheright]

Nói thì dễ mà làm thì khó anh ạ
Anh thử post bài giải cẩn thận cho em tham khảo được không ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chemthan]

Nguyên văn bởi alltheright

Nói thì dễ mà làm thì khó anh ạ
Anh thử post bài giải cẩn thận cho em tham khảo được không ạ

Nếu $a=1 $ thì $b=1 $ và ngược lại.
Nếu $a,b>1 $, suy ra $a,b $ có cùng tập ước nguyên tố.
Giả sử $a=\prod_{i=1}^n{p_i^{\alpha_i}}, b=\prod_{i=1}^n{p_i^{\beta_i}} $.
$\Rightarrow \alpha_i.b^2=\beta_i.a $, hay là:
$\frac{b^2}{a}=\frac{\beta_i}{\alpha_i} $.
*) Nếu $b>a $ suy ra $\beta_i>\alpha_i $, với mọi $i $.
Khi đó ta có:
$\frac{b^2}{a}=\prod_{i=1}^n{p_i^{2\beta_i-\alpha_i}}>\prod_{i=1}^n{p_i^{\beta_i}}>\prod_{i=1 }^n{\beta_i}\geq \frac{\beta_i}{\alpha_i} $, vô lý.
*) Nếu $b\leq a $ suy ra $\beta_i\leq \alpha_i $, với mọi $i $. Suy ra $b^2 \leq a $.
Nếu $b^2=a $ thì $a=b=b^2 $, hay $b=1 $, vô lý.
Vậy $b^2<a $
Do đó $2\beta_i < \alpha_i $, với mọi $i $.
Khi đó ta có:
$\Rightarrow \alpha_i\vdots \beta_i $, $\alpha_i=k.\beta_i, k>2 $.
$\prod_{i=1}^n{p_i^{\alpha_i-2\beta_i}}=\frac{\alpha_i}{\beta_i}=k $
Mặt khác $k=\prod_{i=1}^n{p_i^{\alpha_i-2\beta_i}}=\prod_{i=1}^n{p_i^{(k-2).\beta_i}}\geq \prod_{i=1}^n{p_i^{k-2}}\geq (2^{k-2})^n $.
Bất đẳng thức này chỉ đúng với $n=1, k\leq 4 $.
+) Với $k=3 $, ta có:
$3=p^{\beta} $, suy ra $p=3, \beta=1 $.
Ta được $a=27, b=3 $.
Với $k=4 $, ta có $p=2, \beta=1, \alpha=4 $.
+) Ta được $a=16,b=2 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[alltheright]

Nguyên văn bởi chemthan

*) Nếu $b\leq a $ suy ra $\beta_i\leq \alpha_i $, với mọi $i $.

Cái này hình nưh không đúng anh ạ
Anh thử kiểm tra lại xem
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chemthan]

Nếu $b\leq a $ suy ra tồn tại $i $ sao cho $\beta_i\leq \alpha_i $. Nhưng từ $\frac{b^2}{a}=\frac{\beta_i}{\alpha_i} $, với mọi $i $, suy ra bất đẳng thức này đúng với mọi $i $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[alltheright]

vâng ạ hjhjhjhj em làm tới đó mà quên mất cái đẳng thức kia thanks anh nha
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[macdangnghi]

Lam on giai giup bai nay voi dtuyen hai duong dau hang roi:Tìm $m$ nguyên dương sao cho
$m^2-1$ là ước của $3^m+5^m$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chemthan]

Bài này từng post lên Mathlinks cũng chẳng có ai giải nổi, chứ đừng nói đến Mathscope.
Trường hợp $m $ chẵn thì mình có thể làm được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Nguyên văn bởi chemthan

Bài này từng post lên Mathlinks cũng chẳng có ai giải nổi, chứ đừng nói đến Mathscope.
Trường hợp $m $ chẵn thì mình có thể làm được.

m chẵn có lẽ dùng bổ đề a^2+b^2 chia hết cho p=4k+3 thì a,b chia hết cho p
bài này của hxy09.anh Trung nói thẳng quá
Bài này từng post lên Mathlinks cũng chẳng có ai giải nổi, chứ đừng nói đến Mathscope.
Trên Ml sub4rum ...giờ vẫn chưa có solution
Bài chế của Dopinescu:
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]