Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2011

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 10-04-2011, 02:42 PM   #16
chemthan
Super Moderator
 
chemthan's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 334
Thanks: 0
Thanked 294 Times in 151 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi nvthanh1994 View Post
Bài 3
Cho $n\geq 3,n\in\mathbb{N} $ và $n $ số thực $x_1,x_2,\ldots,x_n $ thỏa mãn
i, $x_1+x_2+\ldots+x_n=0 $
ii, $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=n(n-1) $
iii, $x_1\geq x_2\geq x_2\geq \ldots \geq x_n $

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $f=x_1+x_2 $
$x_1\geq x_2\geq ...\geq x_k>0\geq x_{k+1}\geq ...\geq x_n $.
*) $k=1 $.
$1-x_1^2=x_2^2+...+x_n^2\geq (n-1)x_2^2 $.
$\Rightarrow x_2\geq -\sqrt{\frac{1-x_1^2}{n-1}} $.
$\Rightarrow x_1+x_2\geq x_1-\sqrt{\frac{1-x_1^2}{n-1}} $.
$x_1\geq -(n-1)x_2 $.
$\Rightarrow x_1+x_2\geq \frac{n-2}{n-1}x_1 $.
$max(x_1-\sqrt{\frac{1-x_1^2}{n-1}},\frac{n-2}{n-1}x_1)\geq \frac{n-2}{n-1}.\sqrt{\frac{n-1}{n}} $.
Đẳng thức xảy ra: $x_1=\sqrt{\frac{n-1}{n}},x_2=x_3=...=-\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}} $.
*) $k\geq 2 $.
$1=x_1^2+x_2^2+...+x_k^2+x_{k+1}^2+...+x_n^2\leq x_1^2+(k-1)x_2^2+(x_{k+1}+...+x_n)^2=x_1^2+(k-1)x_2^2+(x_1+...+x_k)^2\leq x_1^2+(k-1)x_2^2+(x_1+(k-1)x_2)^2\leq x_1^2+(n-2)x_2^2+(x_1+(n-2)x_2)^2 $.
$\Rightarrow 2x_1^2+(n^2-3n+2)x_2^2+2(n-2)x_1x_2\geq 1 $.
$x_1\geq x_2 $.
$\Rightarrow x_1+x_2\geq \frac{2}{\sqrt{n^2-n}} $.
Đẳng thức xảy ra: $x_1=x_2=...=x_{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n^2-n}}, x_n=-\sqrt{\frac{n-1}{n}} $.

Cái phần này mình làm khi thay $x_1^2+...+x_n^2=n(n-1) $ thành $x_1^2+...+x_n^2=1 $. Chuẩn hóa cơ bản.
$Min=2, x_1=x_2=...=x_{n-1}=1,x_n=1-n $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: chemthan, 10-04-2011 lúc 03:32 PM
chemthan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to chemthan For This Useful Post:
nhox12764 (19-04-2011)
Old 10-04-2011, 02:57 PM   #17
duca1pbc
+Thành Viên+
 
duca1pbc's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 138
Thanks: 3
Thanked 7 Times in 6 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi chemthan View Post
$x_1\geq x_2\geq ...\geq x_k>0\geq x_{k+1}\geq ...\geq x_n $.
*) $k=1 $.
$1-x_1^2=x_2^2+...+x_n^2\geq (n-1)x_2^2 $.
$\Rightarrow x_2\geq -\sqrt{\frac{1-x_1^2}{n-1}} $.
$\Rightarrow x_1+x_2\geq x_1-\sqrt{\frac{1-x_1^2}{n-1}} $.
$x_1\geq -(n-1)x_2 $.
$\Rightarrow x_1+x_2\geq \frac{n-2}{n-1}x_1 $.
$min(x_1-\sqrt{\frac{1-x_1^2}{n-1}},\frac{n-2}{n-1}x_1)=\frac{n-2}{n-1}.\sqrt{\frac{n-1}{n}} $.
Đẳng thức xảy ra: $x_1=\sqrt{\frac{n-1}{n}},x_2=x_3=...=-\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}} $.
*) $k\geq 2 $.
$1=x_1^2+x_2^2+...+x_k^2+x_{k+1}^2+...+x_n^2\leq x_1^2+(k-1)x_2^2+(x_{k+1}+...+x_n)^2=x_1^2+(k-1)x_2^2+(x_1+...+x_k)^2\leq x_1^2+(k-1)x_2^2+(x_1+(k-1)x_2)^2\leq x_1^2+(n-2)x_2^2+(x_1+(n-2)x_2)^2 $.
Ai trâu bò cứ tìm bất đẳng thức giữa $x_1,x_2 $ rồi dùng hàm số.
Sai dấu bằng rồi cậu ơi. Tổng bình phương = 1 mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
duca1pbc is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-04-2011, 03:54 PM   #18
chemthan
Super Moderator
 
chemthan's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 334
Thanks: 0
Thanked 294 Times in 151 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi nvthanh1994 View Post
Ngày thi thứ hai 10/4/2011
Thời gian làm bài 240 phút
Bài 4
Cho dãy ${a_n} $ thỏa mãn $a_0=1,a_1=3 $ và
$a_{n+2}=1+\left \lfloor \frac{a^2_{n+1}}{a_n} \right \rfloor $
Chứng minh rằng
$a_n.a_{n+2}-a^2_{n+1}=2^n $
Quy nạp chứng minh $a_{n+1}=4a_n-2a_{n-1} $.
$\Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}+2a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_{n+2}+2a_n} $.
$\Rightarrow a_n(a_{n+2}+2a_n)=a_{n+1}(a_{n+1}+2a_{n-1}) $
$\Rightarrow a_na_{n+2}-a_{n+1}^2=2(a_{n-1}a_{n+1}-a_n^2) $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: chemthan, 10-04-2011 lúc 03:56 PM
chemthan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to chemthan For This Useful Post:
duycvp (17-04-2011), luatdhv (18-04-2011), n.v.thanh (10-04-2011)
Old 10-04-2011, 04:14 PM   #19
can_hang2008
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 310
Thanks: 5
Thanked 751 Times in 187 Posts
Lời giải của chemthan chưa đúng. Đáp số phải là: $\min=2 $ nếu $n\ge 4 $ và $\min=1 $ nếu $n=3. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
The love makes us stronger!

Võ Quốc Bá Cẩn

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 10-04-2011 lúc 04:17 PM
can_hang2008 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-04-2011, 04:23 PM   #20
chemthan
Super Moderator
 
chemthan's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 334
Thanks: 0
Thanked 294 Times in 151 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi can_hang2008 View Post
Lời giải của chemthan chưa đúng. Đáp số phải là: $\min=2 $ nếu $n\ge 4 $ và $\min=1 $ nếu $n=3. $
So sánh $\frac{2}{\sqrt{n^2-n}} $ và $\frac{n-2}{n-1}.\sqrt{\frac{n-1}{n}} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: chemthan, 10-04-2011 lúc 04:37 PM
chemthan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-04-2011, 04:39 PM   #21
pth_tdn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Đến từ: HCM City
Bài gởi: 183
Thanks: 25
Thanked 240 Times in 122 Posts
Hình như đề bài 5 bị sai: $A=2^{2n}-2^{n+1}-3.2^{3n}+1<0 $ do với n nguyên dương thì 2n<3n.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
pth_tdn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to pth_tdn For This Useful Post:
n.v.thanh (10-04-2011)
Old 10-04-2011, 05:16 PM   #22
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Nhầm đề
Bài 6: Giử sử tổng số kẹo là $kn $, ta sẽ chứng minh:

Kết quả 1: Gọi $t \le k-1 $ là số kẹo nhỏ nhất mà một học sinh có, và có $m $ học sinh giữ đúng $t $ cái kẹo, khi đó có thể chuyển kẹo theo quy tắc ở bài toán mà sau một số hữu hạn lần thì số học sinh giữ đúng $t $ cái kẹo là $m-1 $.

Chứng minh: Ta xét học sinh $A $ giữ $t $ cái kẹo và người bên trái người đó là $B $ có ít nhất $t+1 $ cái kẹo. Nếu $B $ giữ $\ge t+1 $ cái kẹo, thì ta chuyển một cái từ $B $ sang $A $. Khi đó kết quả 1 được chứng minh. Nếu $B $ giữ đúng $t+1 $ cái kẹo, thì ta chuyển một kẹo từ $B $ sang $A $ , nếu $B $ giữ $t $ cái thì không làm gì cả và bắt đầu lại như trên từ $B $, theo chiều kim đồng hồ. Hiển nhiên do tổng số kẹo là $kn $ nên có học sinh giữ ít nhất là $k+1\ge t+2 $ cái kẹo nên quá trình trên sẽ dừng sau một số hữu hạn lần ( không quá $ n-1 $ lần tính toán kĩ). Như vậy thì kết quả 1 được chứng minh.

Kết quả 2: Nếu tại thời điểm $X $, số kẹo nhỏ nhất là $t \le k-1 $, thì ta có thể chuyển kẹo sao cho ở thời điểm $Y $, số kẹo nhỏ nhất là $t+1 $.

Chứng minh: áp dụng kết quả 1 $m $ lần với $m $ là số học sinh giữ đúng $t $ kẹo.

Từ kết quả 2: Ta có ngay kết luận của bài toán là đúng.

Điều kiện tổng số kẹo là $kn $ được sử dụng để chỉ ra là luôn tồn tại $2 $ người kề nhau mà người bên trái hơn người bên phải ít nhất $2 $ chiếc kẹo ( nếu không phải tất cả đều bằng nhau).
Nếu số kẹo không là $kn $ thì sẽ gặp vòng lặp vô hạn : ví dụ tổng số kẹo là $kn-v $, thì với trạng thái $k-1,k-1,...,k-1,k,k,..k $, ta sẽ gặp vòng lặp vô hạn. Nó đúng bởi vì ta chẳng thể nào có thể chuyển kẹo mà mỗi học sinh có số kẹo như nhau cả
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.

thay đổi nội dung bởi: Traum, 11-04-2011 lúc 03:25 AM
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-04-2011, 05:24 PM   #23
pth_tdn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Đến từ: HCM City
Bài gởi: 183
Thanks: 25
Thanked 240 Times in 122 Posts
2/ $A=(2^n-1)^2-8.3^n=a^2 $
$8.3^n=(2^n-1-a)(2^n-1+a) $.
Ta có $2^n-1-a; 2^n-1+a $ phải cùng tính chẵn lẻ.
*$2^n-1-a=2.3^x; 2^n-1+a=4.3^{n-x} $
$a=2^n-1-2.3^x=4.3^{n-x}+1-2^n $
$2^{n+1}-2.3^x=2+4.3^{n-x} => 2^n-3^x=1+2.3^{n-x} $
$2^n-1=2.3^{n-x}+3^{x} $
Nếu n-x,x đều dương thì $2^n $ chia 3 dư 1, do đó n chẵn.
Khi đó: $A=16^k-2.4^k-8.9^k+1 \equiv 2-2.4^k-8.9^k \equiv 2(mod 5) $ (không thể là số chính phương)
Nếu x=0 thì $2^n=2.3^n+2 >2^n $
Nếu x=n thì $2^n=3+3^n $ lọai do $2^n $ không chia hết cho 3.
*$2^n-1-a=4.3^x; 2^n-1+a=2.3^{n-x} $
$2^n-1=2.3^x+3^{n-x} $, tương tự, không tồn tại x,n thỏa mãn.
Vậy pt vô nghiệm nguyên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: pth_tdn, 10-04-2011 lúc 05:28 PM
pth_tdn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to pth_tdn For This Useful Post:
long_chau2010 (13-04-2011)
Old 10-04-2011, 05:29 PM   #24
pabopit
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2011
Bài gởi: 77
Thanks: 29
Thanked 58 Times in 41 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi nvthanh1994 View Post
Ngày thi thứ hai 10/4/2011
Thời gian làm bài 240 phút
Bài 4
Cho dãy ${a_n} $ thỏa mãn $a_0=1,a_1=3 $ và $a_{n+2}=1+\left \lfloor \frac{a^2_{n+1}}{a_n} \right \rfloor $
Chứng minh rằng
$a_n.a_{n+2}-a^2_{n+1}=2^n $

Bài 5

Tìm $n $ nguyên dương sao cho $A=2^{n+1}.(2^{n-1}-1)-8.3^n+1 $ là số chính phương.

Bài 6

Có n học sinh ngồi quanh một bàn tròn,trong tay mỗi học sinh có một số kẹo sao cho tổng số kẹo của n học sinh đang ngồi quanh bàn tròn là một bội số của n.Ta thực hiện một quy tắc chuyển kẹo như sau,nếu có một học sinh có số kẹo lớn hơn số kẹo của người bạn bên tay phải mình thì ta sẽ lấy đi của người đó chuyển sang cho người bạn bên tay phải.
Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các bước ,ta có thể làm cho số kẹo của mỗi học sinh bằng nhau.
Hết
Thanh ơi,hình như bài này tôi nhớ sai đề rồi.Phải là thế này:$A=2^{n+2}.(2^{n}-1)-8.3^n+1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: pabopit, 10-04-2011 lúc 05:31 PM
pabopit is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to pabopit For This Useful Post:
n.v.thanh (10-04-2011)
Old 10-04-2011, 05:52 PM   #25
Mr Stoke
+Thành Viên Danh Dự+
 
Mr Stoke's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 252
Thanks: 40
Thanked 455 Times in 95 Posts
2 bài đầu ngày 2 chất lượng kém quá nhỉ. Bài 1 thì rõ ràng rồi, bài 2 kiểu pt mũ chuyển về tích rồi ước lượng vài dòng để chặn biến n. Cả hai bài không có tính số học mấy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mr Stoke is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-04-2011, 05:55 PM   #26
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
Em cũng không biết nữa,bạn em bảo khtn toàn làm bài 4,6,không ai làm được cả bài 5
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-04-2011, 05:59 PM   #27
Mr Stoke
+Thành Viên Danh Dự+
 
Mr Stoke's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 252
Thanks: 40
Thanked 455 Times in 95 Posts
Có thể các em bị hình thức nó đánh lừa thôi, MS không thích mấy bài kiểu này.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mr Stoke is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-04-2011, 06:24 PM   #28
nicksterse
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2009
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Thứ nhất, bài số học là $2^{n+2}*(2^{n}-1)-8*3^{n}+1 $, và n=3, n=5 là hai nghiệm, chứ không phải vô nghiệm.

Thứ hai ,bài số 6 không phải là "ta có thể làm cho số kẹo của mỗi học sinh bằng nhau" mà là thượng đế chọn tùy ý một trong những em có bạn ngồi ngay bên phải ít kẹo hơn. Chứng minh sau hữu hạn lần sẽ có số kẹo các bạn bằng nhau. Không phải "ta có thể làm", mà là "luôn luôn có". Chỉ ra một phương án không phải là ý tưởng của bài toán. Để hiểu ý tưởng bài toán khó thế nào, xét trường hợp các bạn chỉ có t hoặc t+1 viên kẹo.

Chém gió vừa thôi nhé các bác.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nicksterse is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-04-2011, 06:29 PM   #29
can_hang2008
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 310
Thanks: 5
Thanked 751 Times in 187 Posts
Phan min co the lam nhu sau:
+ Khi $n=3, $ ta co $x_1+2x_2\ge x_1+x_2+x_3=0 $ va $x_1^2+x_2^2+(x_1+x_2)^2=6. $ Tu dang thuc thu hai, ta suy ra $x_1^2+x_1x_2+x_2^2=3 $ va do do ket hop voi bdt hien nhien la $(2x_1+x_2)(x_1+2x_2)\ge0, $ ta thu duoc $3 \le x_1^2+x_1x_2+x_2^2+(2x_1+x_2)(x_1+2x_2)=3(x_1+x_2) ^2. $ Suy ra $x_1+x_2 \ge 1. $ Dau dang thuc xay ra khi $x_1=2 $ va $x_2=x_3=-1. $
+ Tiep theo, ta xet truong hop $n \ge 4. $ Su dung danh gia quen thuoc: "neu $a \le b\le c, $ thi $a^2+b^2\le c^2+(a+b-c)^2 $" lien tuc, ta co the de dang suy ra
$x_3^2+x_4^2+\cdots +x_n^2\le (n-3)x_2^2+[x_3+x_4+\cdots+x_n-(n-3)x_2]^2=(n-3)x_2^2+[x_1+(n-2)x_2]^2. $
Tu day ta suy ra duoc
$x_1^2+(n-2)x_2^2+[x_1+(n-2)x_2]^2\ge n(n-1). $
Lai co
$n(n-1)(x_1+x_2)^2\ge 4\left\{x_1^2+(n-2)x_2^2+[x_1+(n-2)x_2]^2\right\}. $
That vay, bang khai trien truc tiep, ta thay bdt nay tuong duong voi
$(x_1-x_2)[(n^2-n-8)x_1+(n-1)(3n-8)x_2 ] \ge 0. $
Day la mot ket qua dung vi ta co $x_1- x_2\ge 0 $ va (chu y rang $x_1+(n-1)x_2 \ge x_1 +x_2+\cdots +x_n=0 $)
$(n^2-n-8)x_1+(n-1)(3n-8)x_2\ge (n^2-n-8)x_1-(3n-8)x_1=n(n-4)x_1 \ge0. $
Nhu vay, tu cac ket qua vua thiet lap, ta co $n(n-1)(x_1+x_2)^2\ge 4n(n-1). $ Suy ra $x_1+x_2 \ge 2. $ Dau dang thuc xay ra khi $x_1=x_2=\cdots=x_{n-1}=1 $ va $x_n=-n+1. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
The love makes us stronger!

Võ Quốc Bá Cẩn
can_hang2008 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to can_hang2008 For This Useful Post:
11112222 (25-04-2011), dung_toan78 (11-04-2011), dzitxiem (15-08-2011), huynhcongbang (11-04-2011), king_math96 (11-04-2011), Kratos (12-04-2011)
Old 10-04-2011, 07:08 PM   #30
can_hang2008
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 310
Thanks: 5
Thanked 751 Times in 187 Posts
Một số chú ý cho bài 3:
+ Lời giải của chemthan cần phải chỉnh lại một chút thì mới thành lời giải đúng được.
+Bài này gợi cho mình nghĩ đến bài chọn đội tuyển Mĩ năm 1999: Cho $n>3,\;n\in \mathbb N $ va $a_1,\;a_2,\;\ldots,\; a_n $ là các số thực thỏa mãn $a_1+a_2+\cdots+ a_n \ge n $ va $a_1^2+a_2^2+\cdots+ a_n^2 \ge n^2. $ Chứng minh rằng $\max\{a_1,\;a_2,\;\ldots,\; a_n\} \ge 2. $
ở bài chọn đội tuyển Mĩ này,mình cũng đã sử dụng pp như trên để giải nó (nhưng cần phải kết hợp với phản chứng).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
The love makes us stronger!

Võ Quốc Bá Cẩn

thay đổi nội dung bởi: can_hang2008, 11-04-2011 lúc 04:35 PM
can_hang2008 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to can_hang2008 For This Useful Post:
11112222 (25-04-2011), dzitxiem (15-08-2011)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:21 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 105.37 k/121.86 k (13.54%)]