Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2011

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 10-04-2011, 07:10 PM   #31
Mr Stoke
+Thành Viên Danh Dự+
 
Mr Stoke's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 252
Thanks: 40
Thanked 455 Times in 95 Posts
Bài 6 bạn gì ở trên giải sai. Để giải bài này các em theo hướng làm như sau:

Viết thành $(2^{n+1}-1)^2-x^2=8.3^n $. Vế trái là tích của hai biểu thức, do đó từng biểu thức có dạng $4.3^u $ và cái còn lại là $2. 3^{n-u} $. Sử dụng nx $2^k-1 $ chia hết cho 9 thì k chia hết cho $6 $. Phân tích $2^{n+1}-1=(2^{(n+1)/3}-1)A $ rồi xét mod 3 (chú ý ước lượng được u theo n). Dẫn về pt Catalan : $2^x-3^y=\pm1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mr Stoke is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-04-2011, 07:22 PM   #32
chemthan
Super Moderator
 
chemthan's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 339
Thanks: 0
Thanked 296 Times in 152 Posts
*) Với $n\leq 5 $ dễ thấy $n=3,5 $.
*) Với $n>5 $.
$(2^{n+1}-1)^2-8.3^n=a^2 $
$(2^{n+1}+a-1)(2^{n+1}-a-1)=8.3^n $
Do đó tồn tại $l $ sao cho:
$2^{n+1}-1=3^l+2.3^{n-l} $.
Trường hợp $l=0,n $, ta có các phương trình:
$2^{n+1}-1=1+2.3^n $.
$2^{n+1}-1=3^n+2 $.
Trường hợp $l\neq 0,n $ suy ra:
$n $ lẻ, $l $ chẵn.
*) Nếu $3^l+2.3^{n-l}\vdots 3^3 $, suy ra $2^{n+1}-1\vdots 3^3 $.
Suy ra $n+1\vdots 2.3^2 $.
$\Rightarrow 2^{n+1}-1\vdots 2^{18}-1\vdots 2^9+1\vdots 2^6-2^3+1\vdots 19 $.
$\Rightarrow 19|3^l+2.3^{n-l} $.
Từ đó dễ thấy tồn tại số nguyên dương $x $ sao cho: $19|x^2+6 $, điều này là vô lý.
$\Rightarrow min(l,n-l)=1,2 $.
Ta đưa về các phương trình:
$2^{n+1}-1=3+2.3^{n-1} $
$2^{n+1}-1=9+2.3^{n-2} $
$2^{n+1}-1=3^{n-1}+6 $
$2^{n+1}-1=3^{n-2}+18 $
Dễ thấy tất cả đều vô nghiệm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: chemthan, 10-04-2011 lúc 07:27 PM
chemthan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-04-2011, 10:54 PM   #33
kien10a1
+Thành Viên+
 
kien10a1's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc
Bài gởi: 371
Thanks: 43
Thanked 263 Times in 153 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới kien10a1
Trích:
Nguyên văn bởi chemthan View Post
*) Với $n\leq 5 $ dễ thấy $n=3,5 $.
*) Với $n>5 $.
$(2^{n+1}-1)^2-8.3^n=a^2 $
$(2^{n+1}+a-1)(2^{n+1}-a-1)=8.3^n $
Do đó tồn tại $l $ sao cho:
$2^{n+1}-1=3^l+2.3^{n-l} $.
Trường hợp $l=0,n $, ta có các phương trình:
$2^{n+1}-1=1+2.3^n $.
$2^{n+1}-1=3^n+2 $.
Trường hợp $l\neq 0,n $ suy ra:
$n $ lẻ, $l $ chẵn.
*) Nếu $3^l+2.3^{n-l}\vdots 3^3 $, suy ra $2^{n+1}-1\vdots 3^3 $.
Suy ra $n+1\vdots 2.3^2 $.
$\Rightarrow 2^{n+1}-1\vdots 2^{18}-1\vdots 2^9+1\vdots 2^6-2^3+1\vdots 19 $.
$\Rightarrow 19|3^l+2.3^{n-l} $.
Từ đó dễ thấy tồn tại số nguyên dương $x $ sao cho: $19|x^2+6 $, điều này là vô lý.
$\Rightarrow min(l,n-l)=1,2 $.
Ta đưa về các phương trình:
$2^{n+1}-1=3+2.3^{n-1} $
$2^{n+1}-1=9+2.3^{n-2} $
$2^{n+1}-1=3^{n-1}+6 $
$2^{n+1}-1=3^{n-2}+18 $
Dễ thấy tất cả đều vô nghiệm.
em nghĩ là chỉ đúng khi $l\leq n- l $ thôi ạ.
TH còn lại là $19|6x^2 +1 $ hay tồn tại $x $ mà $19|x^2 -3 $, cũng vô lí
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kien10a1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-04-2011, 02:09 AM   #34
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi can_hang2008 View Post
Mot so chu y cho bai 3:
+ Loi giai cua chemthan can phai chinh lai mot chut thi moi thanh loi giai dung duoc.
+ Bai nay goi cho minh den bai chon doi tuyen Mi nam 1999: Cho $n>3,\;n\in \mathbb N $ va $a_1,\;a_2,\;\ldots,\; a_n $ la cac so thuc thoa man $a_1+a_2+\cdots+ a_n \ge n $ va $a_1^2+a_2^2+\cdots+ a_n^2 \ge n^2. $ Chung minh rang $\max\{a_1,\;a_2,\;\ldots,\; a_n\} \ge 2. $
O bai chon doi tuyen Mi nay, minh cung da su dung pp nhu tren de giai no (nhung can phai ket hop voi phan chung).
Bài VNTST chỉ là biến đổi một chút là ra USTST thôi
chỉ cần đặt $x_i = a_i - 1 $ thì $a_1 + a_2 + ...+a_n = n $ và $a_1^2+...+a_n^2 = n^2 $ và $a_1\ge a_2\ge...\ge a_n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.

thay đổi nội dung bởi: can_hang2008, 11-04-2011 lúc 04:37 PM
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-04-2011, 03:11 AM   #35
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi nicksterse View Post
Thứ nhất, bài số học là $2^{n+2}*(2^{n}-1)-8*3^{n}+1 $, và n=3, n=5 là hai nghiệm, chứ không phải vô nghiệm.

Thứ hai ,bài số 6 không phải là "ta có thể làm cho số kẹo của mỗi học sinh bằng nhau" mà là thượng đế chọn tùy ý một trong những em có bạn ngồi ngay bên phải ít kẹo hơn. Chứng minh sau hữu hạn lần sẽ có số kẹo các bạn bằng nhau. Không phải "ta có thể làm", mà là "luôn luôn có". Chỉ ra một phương án không phải là ý tưởng của bài toán. Để hiểu ý tưởng bài toán khó thế nào, xét trường hợp các bạn chỉ có t hoặc t+1 viên kẹo.

Chém gió vừa thôi nhé các bác.
Ừm, nhầm đề thôi. Dùng ý tưởng tương tự.

Ở đây tôi giả sử rằng mỗi lần chỉ chuyển 1 cái kẹo, nếu không giới hạn số kẹo được chuyển thì bài toán ko đúng.

Kết quả 1: Với trạng thái các học sinh giữ số kẹo không bằng nhau. Giử sử $m $ là min số kẹo và $M $ là max số kẹo mà các học sinh giữ. Ta sẽ chứng minh rằng: sau một số bước chuyển kẹo thì hoặc số học sinh giữ $m $ cái kẹo giảm đi 1 hoặc số học sinh giữ $M $ cái kẹo giảm đi $1 $. Với chú ý là $M-m\ge 2 $

Chứng minh:
Giử sử là số học sinh giữ $m $ cái kẹo và số học sinh giữ $M $ cái kẹo không giảm đi, khi đó ta có nhận xét:

Nhận xét 1: vị trí của các học sinh giữ $m $ cái kẹo di chuyển theo chiều kim đồng hồ. Vị trí của các học sinh giữ $M $ cái kẹo di chuyển theo ngược chiều kim đồng hồ.

Chứng minh nhận xét 1: Nếu các vị trí của các học sinh giữ $m $ kẹo và $M $ kẹo không thay đổi thì ta chỉ có thể thực hiện được hữu hạn bước, bởi vì các kẹo sẽ bị dồn phía ngược chiều kim đồng hồ. Nhưng nó lại bị chặn bởi một học sinh giữ $m $ kẹo nào đó mà người này không nhận được kẹo. Vậy có nghĩa là học sinh giữ m kẹo nào đó sẽ nhận được 1 kẹo, nhưng do giả thiết là số học sinh giữ $m $ kẹo không đổi, nên học sinh bên trái học sinh này giữ $m+1 $ kẹo, sau khi chuyển kẹo sẽ có người bên phải $m+1 $ và người bên trái $m $, có nghĩa là vị trí của học sinh giữ $m $ kẹo di chuyển theo chiều kim đồng hồ.
Tương tự ta có vị trí của học sinh giữ $M $ kẹo di chuyển theo ngược chiều kim đồng hồ.

Hiển nhiên là sau một số hữu hạn lần thì sẽ phải xảy ra một bước chuyển kẹo của 2 học sinh kề nhau với học sinh bên trái giữ $M $ và học sinh bên phải giữ $m $, và trạng thái tiếp theo thì số học sinh giữ $m $ kẹo giảm đi $1 $, và số học sinh giữ $M $ kẹo giảm đi $1 $. kết quả 1 được chứng minh.

Từ kết quả 1 thì bài toán được được chứng minh. Và ta có sau một số hữu hạn bước ta phải có $m = M = k $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : jpg Minh Hoa 5.jpg (79.5 KB, 44 lần tải)
__________________
Traum is giấc mơ.

thay đổi nội dung bởi: Traum, 11-04-2011 lúc 03:19 AM
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Traum For This Useful Post:
huynhcongbang (28-11-2011)
Old 11-04-2011, 07:36 AM   #36
socialnetwork
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Bài gởi: 8
Thanks: 0
Thanked 6 Times in 2 Posts
Ở bài 1 làm sao cm nếu m và n nguyên tố cùng nhau thì điểm A(m,n) thỏa mãn đề bài nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
socialnetwork is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-04-2011, 11:16 AM   #37
h19101994
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2009
Đến từ: A1 TOAN-KHTN
Bài gởi: 15
Thanks: 7
Thanked 10 Times in 7 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới h19101994
Bạn à,để đi đến (m,n)=1 với thì phải dùng quy nạp.
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi chemthan View Post
Quy nạp chứng minh $a_{n+1}=4a_n-2a_{n-1} $.
$\Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}+2a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_{n+2}+2a_n} $.
$\Rightarrow a_n(a_{n+2}+2a_n)=a_{n+1}(a_{n+1}+2a_{n-1}) $
$\Rightarrow a_na_{n+2}-a_{n+1}^2=2(a_{n-1}a_{n+1}-a_n^2) $.
Em biết anh làm thế là đúng nhưng chứng minh $a_{n+1}=4a_n-2a_{n-1} $ dễ không anh?
Xin lỗi,,,,,,,,,
------------------------------
Cho mình hỏi: bao giờ có kết quả TST năm nay............
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc đời vì Khoa học

thay đổi nội dung bởi: h19101994, 11-04-2011 lúc 11:31 AM Lý do: Tự động gộp bài
h19101994 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-04-2011, 12:04 PM   #38
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
Chỉ có không quá một dãy thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Vậy ta chứng minh dãy có hai số hạng đầu giống dãy trong đầu bài và công thức truy hồi là công thức chemthan dự đoán thỏa mãn các giả thiết của đầu bài là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-04-2011, 12:08 PM   #39
Chec
Banned
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Bài gởi: 4
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Bạn cho biết lấy đi cái gì (bao nhiêu kẹo) chuyển cho người bạn bên phải? Đề bài có vẻ không rõ ràng.

Có n học sinh ngồi quanh một bàn tròn,trong tay mỗi học sinh có một số kẹo sao cho tổng số kẹo của n học sinh đang ngồi quanh bàn tròn là một bội số của n.Ta thực hiện một quy tắc chuyển kẹo như sau,nếu có một học sinh có số kẹo lớn hơn số kẹo của người bạn bên tay phải mình thì ta sẽ lấy đi của người đó chuyển sang cho người bạn bên tay phải.
Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các bước ,ta có thể làm cho số kẹo của mỗi học sinh bằng nhau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Chec is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-04-2011, 12:11 PM   #40
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
Cái đề này có lâu rồi mà các anh em đi thi về không chịu sửa lỗi giúp gì cả. Cái Bài 1 cũng thế!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-04-2011, 12:54 PM   #41
magic.
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Bài gởi: 213
Thanks: 107
Thanked 140 Times in 84 Posts
Bài số vẫn ý tưởng rõ ràng là phân tích thành tích rồi suy ra hệ như bạn pth_tdn ( #24). Sau đó cộng vế với vế và sử dụng tính chất $3^3 \not| 2^n-1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Peace
magic. is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-04-2011, 02:53 PM   #42
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
Đề chính xác do mình xin được đây rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf De thi TST_2011.pdf (194.0 KB, 463 lần tải)
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to n.t.tuan For This Useful Post:
buikhacduong (11-04-2011), n.v.thanh (11-04-2011), phuongloan (15-07-2011), tailsth94 (11-04-2011)
Old 11-04-2011, 05:38 PM   #43
can_hang2008
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 310
Thanks: 5
Thanked 751 Times in 187 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Traum View Post
Bài VNTST chỉ là biến đổi một chút là ra USTST thôi
chỉ cần đặt $x_i = a_i - 1 $ thì $a_1 + a_2 + ...+a_n = n $ và $a_1^2+...+a_n^2 = n^2 $ và $a_1\ge a_2\ge...\ge a_n $
Không thể nói là ra USTST được vì giả thiết của hai bài không hoàn toàn giống nhau và yêu cầu chứng minh cũng không giống nhau (dù cách làm thì giống).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
The love makes us stronger!

Võ Quốc Bá Cẩn
can_hang2008 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-04-2011, 09:32 PM   #44
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,062 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Tôi nghĩ bài Vietnam TST khó hơn bài USA TST 1 chút, vì phải theo dõi 2 thằng $x_1, x_2 $. Còn cái khó của USA là chỉ có bất đẳng thức.

(Cảm ơn Cẩn đã fix lỗi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: namdung, 11-04-2011 lúc 10:25 PM
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-04-2011, 09:40 PM   #45
can_hang2008
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 310
Thanks: 5
Thanked 751 Times in 187 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi namdung View Post
Bài Vietnam TST khó hơn bài USA TST nhiều chứ. Bài USA chỉ vài dòng: $(n-x_n)^2 = (x_1 + ... + x_{n-1})^2 \le (n-1)(x_1^2+...+x_n^2) = (n-1)(n^2-x_n^2) $ Suy ra $2 - n \le x_n \le n $. Bây giờ ta có $(n-1)x_1 + x_n \ge n $. Suy ra $x_1 \ge 2 $ (đpcm).
Mình không thể làm như thế này được thầy ạ. Vì giả thiết của của bài USA là $\ge $ chứ không phải $=. $

Hơn nữa nếu giả thiết là $= $ thì từ sự kết hợp hai bất đẳng thức $2-n \le x_n \le n $ và $(n-1)x_1+x_n \ge n, $ ta chỉ có thể suy ra $x_1 \ge 0 $ thôi ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
The love makes us stronger!

Võ Quốc Bá Cẩn

thay đổi nội dung bởi: can_hang2008, 11-04-2011 lúc 09:43 PM
can_hang2008 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:45 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 103.66 k/120.26 k (13.80%)]