Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2014

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 03-01-2014, 01:54 PM   #16
hoangqnvip
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: Quy Nhơn-Bình Định
Bài gởi: 66
Thanks: 283
Thanked 87 Times in 25 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới hoangqnvip
Em có cách này, không biết đúng không
b.
Ta đánh số 24 đỉnh được tô màu xanh là $1,2,...,24$
Gọi $a_i$ là khoảng cách giữa đỉnh $i$ và đỉnh $i+1$ ($i=24$ thì $i+1=1$) với đơn vị là $\frac{2}{13} \pi$
Ta có:
$a_1+.a_2+..+a_{24}=103$
Có $C_{24}^{10}$ cách chọn ra 10 số không có giá trị là $1$
$10$ số này có tổng là $89$ và luôn lớn hơn hoặc bằng $2$
Từ đây đưa về bài toán chia kẹo Euler ta suy ra có $C_{78}^{9}$ cách chọn
Ngoài ra, có 24 phép quay biến đỉnh thứ $1$ thành các đỉnh thứ $2,...,24$ mà cấu hình đều giống nhau
Vậy có tổng cộng $\frac{C_{24}^{10}.C_{78}^{9}}{24}$ cách tô thoả mãn ycđb
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hoangqnvip is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to hoangqnvip For This Useful Post:
thaygiaocht (03-01-2014)
Old 03-01-2014, 03:47 PM   #17
ahhungah
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2014
Bài gởi: 5
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hoangqnvip View Post
Em có cách này, không biết đúng không
b.
Ta đánh số 24 đỉnh được tô màu xanh là $1,2,...,24$
Gọi $a_i$ là khoảng cách giữa đỉnh $i$ và đỉnh $i+1$ ($i=24$ thì $i+1=1$) với đơn vị là $\frac{2}{13} \pi$
Ta có:
$a_1+.a_2+..+a_{24}=103$
Có $C_{24}^{10}$ cách chọn ra 10 số không có giá trị là $1$
$10$ số này có tổng là $89$ và luôn lớn hơn hoặc bằng $2$
Từ đây đưa về bài toán chia kẹo Euler ta suy ra có $C_{78}^{9}$ cách chọn
Ngoài ra, có 24 phép quay biến đỉnh thứ $1$ thành các đỉnh thứ $2,...,24$ mà cấu hình đều giống nhau
Vậy có tổng cộng $\frac{C_{24}^{10}.C_{78}^{9}}{24}$ cách tô thoả mãn ycđb
em giống cách bác like trước, nhưng làm tương tự đối với màu đỏ thì ra kết quả khác, bấm máy khác nhau, đang điên đầu vì không biết sai ở đâu đây
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ahhungah is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2014, 08:16 PM   #18
cuongpbc
+Thành Viên+
 
cuongpbc's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2011
Đến từ: White House - A1K39PBC
Bài gởi: 27
Thanks: 78
Thanked 15 Times in 7 Posts
Bài này mình cũng có ý tưởng như a huynhcongbang, kq cũng giống. Cách đưa về btoán chia kẹo Ơle giải đc cả 2 câu luôn. Dùng pt này giải câu a rất nhanh . Câu b mình cũg trùg kq vs a huynhcongbang
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
cuongpbc is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2014, 08:37 PM   #19
vinhhop.qt
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Bài gởi: 85
Thanks: 44
Thanked 70 Times in 34 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ahhungah View Post
Em ra khác rồi các bác @@. C14/24*C9/78
Minh nghi day la ket qua dung.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
vinhhop.qt is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2014, 10:10 PM   #20
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Câu a: giả sử ta tô màu xanh 24 đỉnh là $1\le a_1 < a_2 < ... <a_{24}\le 103 $. Khi đó đặt $b_i = a_{i+1}-a_{i}\ge 1 $ với $1\le i\le 23 $ và $b_{24} = 103 + a_1 - a_{24}\ge 1 $.
Ta có đẳng thức: $b_1 + b_2 + \cdots+b_{24} = 103 $. Nhận xét rằng số giữa hai điểm xanh $a_i $ và $a_{i+1} $ thì có $b_i-1 $ điểm đỏ và từ $b_i-1 $ điểm đỏ này sẽ cho ta $b_i-2 $ cặp đỏ-đỏ nếu $b_i\ge 2 $ và cho ta 0 cặp đỏ-đỏ nếu $b_i\le 1 $. Do đó nếu có $K $ số $b_i = 1 $ thì có $0\le K\le 23 $ $24-K $ số $b_i\ge 2 $.
Số cặp đỏ là $\sum\limits_{b_i\ge 2}b_i-2 = \sum\limits_{b_i\ge 2}b_i - 2(24-K) = \sum\limits_{b_i\ge 1}b_i - \sum\limits_{b_i=1}b_i -2(24-K) = 103 - K - 2(24-K) = 55 + K $.
Ngược lại với mỗi $0\le K\le 24 $ thì tồn tại $b_1,b_2,...,b_{24} $ thỏa mãn có đúng $K $ số bằng 1 và tổng tất cả bằng 103. Ví dụ $b_{i} = 1 $ với $1\le i\le K $, $b_{i} = 2 $ với $K+1\le i\le 23 $ và $b_{24} = 57+K $. Vậy ta có số cặp đỏ-đỏ và xanh-xanh luôn có dạng $(55+K,K) $ với $0\le K\le 23 $.

Câu b: Trước hết ta tính số cách tô màu các đỉnh xanh thỏa mãn với $a_1 = 1, a_{24} = 103 $. Khi đó ta có $b_1 + b_2 + \cdots +b_{23} = a_{24}-a_{1} = 102 $. Từ điều kiện có đúng 14 cặp xanh-xanh nên ta có trong 23 số $b_i $ có đúng 13 số bằng 1. Số cách chọn $13 $ số này là $\binom{23}{13} = \binom{23}{10} $. Số cách chọn 10 số còn lại là $\binom{102-23-1}{10-1} = \binom{78}{9} $.

Lại có với mỗi cách tô màu sao cho có 14 cặp xanh-xanh thì bằng cách xoay quanh tâm ta có có đúng 14 cách tô màu sao cho $a_1=1,a_{24} = 103 $. Việc còn lại là chứng minh với mọi cách tô thì việc quay quanh tâm không trùng với chính nó. Giả sử ngược lại thì ta có tồn lại các số nguyên dương $1\le l \le 102 $ sao cho hai tập $X = \{a_1,a_2,\dots a_{24}\} $ và $Y = \{a_1+l,a_2 + l,...,a_{24} + l\} \pmod {103} $ trùng nhau. Khi đó ta có $\sum\limits_{i=1}^{24}(a_i + l)\equiv \sum\limits_{i=1}^{24}a_i \pmod {103} $ suy ra $24l\equiv 0\pmod {103} $. Điều này không xảy ra với $1\le l\le 102 $.

Từ tất cả nhận xét trên thì số cách tô màu thỏa mãn bài toán là: $\frac{\binom{23}{10}\binom{78}{9}}{14} = \frac{\binom{23}{9}\binom{78}{9}}{10} = \frac{\binom{24}{10}\binom{78}{9}}{24} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.

thay đổi nội dung bởi: Traum, 03-01-2014 lúc 10:24 PM
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to Traum For This Useful Post:
hoangqnvip (03-01-2014), huynhcongbang (03-01-2014), quocbaoct10 (03-01-2014)
Old 03-01-2014, 10:27 PM   #21
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,408
Thanks: 2,164
Thanked 4,162 Times in 1,377 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Vậy là bài tổ hợp có thể tự tin với kết quả là $\frac{C_{78}^9 C_{23}^9}{10}$ rồi.

Các cách khác cũng áp dụng các bước sắp xếp nhưng theo thứ tự khác nên biểu thức cũng hơi khác thôi, đều cùng kết quả cả.

Mình xin share một cách phân tích trên trang Sputnik Education, mọi người tham khảo thử nhé!

Bài 3. Câu a khá là đơn giản. Số đỉnh màu xanh là 24 đỉnh = 103 - 79. Nếu tất cả các đỉnh đỏ chụm thành 1 cụm thì A = 78, nếu bị cắt ahfnh 2 cụm thì A = 77 và cứ thế: tức là nếu có k cụm (mỗi cụm là các đỉnh cùng màu đỏ đứng sát nhau) thì A = 79-k. Nếu có k cụm đủ thì cũng có k cụm xanh, nên B = 24-k. Các giá trị có thể của k là từ 1 đến 24, nên có 24 khả năng tất cả.

Câu b khá là khó. Để có B = 14 thì k =10 (phải chia quân xanh thành 10 cụm, quân đỏ thành 10 cụm). Đếm số cách chia như thế nào ?

Ta thử đánh số các cụm xanh từ 1 đến 10, bắt đầu từ 1 cụm nào đó. Gọi số phần tử của 10 cụm đó (theo thứ tự vòng tròn thuận chiều kim đồng hồ) là x1, ... x10. Khi đó các số y1=x1, y2=x1+x2, v.v., y9 = x1+...+x9 (y10 =24 là cố định, không tính), là các số dương khác nhau từ 1 đến 23 (không thể là 24). Có C(9,23) cách chọn 9 số đó từ 23 số. Như vậy là có C(9,23) cách chia 24 quân xanh thành 10 cụm (có xếp hàng). Tương tự như vậy, có C(9,78) cách chia quân đỏ. Nhân với nhau được C(9,23)C(9,78) Mỗi cách cho ta một cách xếp (tô màu): đầu tiên xếp cụm 1 quân xanh, rồi đến cụm 1 quân đỏ, rồi đến cụm 2 quân xanh, v.v. (Vì có thể quay vòng tròn, nên ta có thể coi "điểm bắt đầu" là điểm đầu của cụm 1 quân xanh). Vì sao 2 cách xếp khác nhau ở đây lại không trùng nhau khi quay vòng tròn ?! (Nếu chẳng may trùng nhau thì rắc rối to, phải tìm cách nào loại đi sự trùng nhau, bằng cách băm nhỏ rồi chia như thế nào đó). Nhưng may thay, số 79 là số nguyên tố nên sẽ không có hai cách nào trùng nhau ! Do vậy số cách sẽ là C(9,23)C(9,78). Nhưng có 10 cách chọn điểm bắt đầu (vì có 10 cụm quân xanh) cho cùng 1 cách tô màu, nên phải chia số C(9,23)C(9,78) cho 10, được kết quả cuối cùng là C(9,23)C(9,78)/10.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
hoangqnvip (03-01-2014), thaygiaocht (04-01-2014), vantienducdh (22-10-2014), whatever2507 (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 04:14 AM   #22
cuongpbc
+Thành Viên+
 
cuongpbc's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2011
Đến từ: White House - A1K39PBC
Bài gởi: 27
Thanks: 78
Thanked 15 Times in 7 Posts
Anh huynhcongbang cho em hỏi vì sao lại có chia 10 nữa ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
cuongpbc is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-01-2014, 11:19 AM   #23
holmes2013
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2013
Bài gởi: 19
Thanks: 3
Thanked 1 Time in 1 Post
Cho mình hỏi là đi thi VMO có phải chứng minh lại bài toán chia kẹo của euler không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
holmes2013 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-01-2014, 01:03 PM   #24
bangdenas
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2011
Bài gởi: 40
Thanks: 40
Thanked 10 Times in 9 Posts
Lời giải ý a của mình như này (tất nhiên còn thiếu sót ) không biết sẽ được bao nhiêu điểm nhỉ...

Ta tô màu các cạnh của hình đa giác theo quy tắc sau
  • nếu cạnh đó có 2 đầu mút màu đỏ thì: tô đỏ
  • nếu cạnh đó có 2 đầu mút màu xanh thì: tô xanh
  • nếu cạnh đó có 1 đầu mút đỏ và 1 đầu mút xanh thì: tô vàng

Gọi số cạnh đỏ, xanh và vàng lần lượt là a, b, c.
Hiển nhiên 2 đỉnh cùng đỏ thì sẽ tạo ra 1 cạnh đỏ, nên số cặp đỉnh đỏ kề nhau bằng với số cạnh đỏ, suy ra A = a. Tương tự B = b

Như vậy, số giá trị có thể nhân được của cặp (A,B) ứng với số giá trị có thể nhận được của (a,b)

Ta sẽ đếm số lần xuất hiện của 1 đỉnh đỏ như là 1 đầu mút của các cạnh bằng 2 cách:

Cách 1: Mỗi đỉnh đỏ thì nối với 2 cạnh nên mỗi đỉnh sẽ xuất hiện 2 lần như là 1 đầu mút. Có 79 đỉnh đỏ suy ra số lần xuất hiện là 79.2 = 158

Cách 2: Mỗi cạnh đỏ thì có 2 đầu mút đỏ
Mỗi cạnh vàng thì có 1 đầu mút đỏ
Mỗi cạnh xanh thì không có đầu mút màu đỏ nào

Như vậy số lần xuất hiện là 2a + c

Từ những lập luận trên suy ra 2a + c = 158
Tương tự với đỉnh xanh có 2b + c = 2(103-79) = 48

Suy ra $a = 79 - \frac{c}{2}$ và $b = 24 - \frac{c}{2}$

Vì a, b là số tự nhiên nên $0 \le c \le 48$ và c chẵn


tương đương c có 25 giá trị

Với mỗi c thì ứng với 1 giá trị (a,b) nên có tất cả 25 cặp giá trị có thê nhạn được của (a,b) cũng như (A,B)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: bangdenas, 04-01-2014 lúc 01:05 PM
bangdenas is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-01-2014, 06:06 PM   #25
kien10a1
+Thành Viên+
 
kien10a1's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc
Bài gởi: 371
Thanks: 43
Thanked 263 Times in 153 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới kien10a1

b, Ta đã biết nếu gọi X là số " cụm các điểm đỏ liền nhau", thì B= 24-X
Do vậy, để B=14 thì X=10
Dùng công thức nghiệm của phương trình chia kẹo Euler, ta suy ra được số cách chia 24 điểm đỏ vào 10 cụm là $C_{23}^{9} $
Đến đây làm khác mọi người một chút, ta sẽ xem xét việc xếp các điểm xanh- đỏ như là việc có sẵn 79 điểm xanh ở trên đường tròn, và ta bỏ 10 cụm điểm đỏ vào các khoảng trống giữa 2 điểm anh liên tiếp, mỗi khoảng có tối đa 1 cụm.
Như vậy thì số cách chọn ra 10 khoảng trống trong 79 khoảng là $C_{79}^{10} $.
Sự trùng lặp theo phép quay là ở chỗ ta chọn 10 vị trí trong 79 vị trí theo đường tròn. Nhờ có $(79,10)=1 $ mà ta không phải lo về các "cấu hình lộn xộn " , mỗi cách tô bị lặp đúng 79 lần, do vậy, đáp số là $\frac{C_{79}^{10}.C_{23}^{9}}{79} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Quay về với nơi bắt đầu
kien10a1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to kien10a1 For This Useful Post:
hungvu (04-01-2014), huynhcongbang (04-01-2014)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:43 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 83.53 k/94.88 k (11.96%)]