Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Đại Số/Algebra

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 11-04-2016, 04:10 PM   #1
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Module xạ ảnh và hàm tử Hom

Mình có một vài thắc mắc mong mọi người giúp đỡ.
1) Tại sao $\mathbb{Z}$ là module tự do mà tích vô hạn trực tiếp các $Z_{i}$ trong đó $Z_{i} \cong \mathbb{Z}$ lại không là module tự do.
2) Cho ví dụ thể hiện rõ có những module xạ ảnh nhưng không là module tự do.
3)Ta có:
$$Hom(A, \bigoplus_{i\in J}B_{i}) \cong \prod_{i\in J}Hom(A,B_{i})$$
Nhưng lại không có:
$$Hom(A, \bigoplus_{i\in J}B_{i}) \cong \bigoplus_{i\in J}Hom(A,B_{i})$$
Kể cả khi $A=\bigoplus_{i\in J}B_{i}.$
4)Cho ví dụ chứng tỏ tổng trực tiếp vô hạn khác với tích trực tiếp vô hạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-04-2016, 10:22 AM   #2
luciasiti
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: Thành Phố Hồ Chí Minh
Bài gởi: 106
Thanks: 60
Thanked 22 Times in 20 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MathForLife View Post
Mình có một vài thắc mắc mong mọi người giúp đỡ.
1) Tại sao $\mathbb{Z}$ là module tự do mà tích vô hạn trực tiếp các $Z_{i}$ trong đó $Z_{i} \cong \mathbb{Z}$ lại không là module tự do.
2) Cho ví dụ thể hiện rõ có những module xạ ảnh nhưng không là module tự do.
3)Ta có:
$$Hom(A, \bigoplus_{i\in J}B_{i}) \cong \prod_{i\in J}Hom(A,B_{i})$$
Nhưng lại không có:
$$Hom(A, \bigoplus_{i\in J}B_{i}) \cong \bigoplus_{i\in J}Hom(A,B_{i})$$
Kể cả khi $A=\bigoplus_{i\in J}B_{i}.$
4)Cho ví dụ chứng tỏ tổng trực tiếp vô hạn khác với tích trực tiếp vô hạn.
2) Xét vành $\mathbb{Z}_{mn}$ trong đó $(m,n)=1$. Ta có $\mathbb{Z}_{mn}\cong \mathbb{Z}_m \oplus \mathbb{Z}_n$, do đó $\mathbb{Z}_m$ là $\mathbb{Z}_{mn}$-module xạ ảnh (vì $\mathbb{Z}_{mn}$ là module tự do trên chính nó) . Tuy nhiên $\mathbb{Z}_m$ không là $\mathbb{Z}_{mn}$-module tự do, vì mọi tập một phần tử đều phụ thuộc phụ tuyến tính.
3,4) Bạn nên đọc lại kĩ khái niệm tích trực tiếp và tổng trực tiếp.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
luciasiti is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to luciasiti For This Useful Post:
MathForLife (13-04-2016)
Old 13-04-2016, 09:49 PM   #3
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi luciasiti View Post
2) Xét vành $\mathbb{Z}_{mn}$ trong đó $(m,n)=1$. Ta có $\mathbb{Z}_{mn}\cong \mathbb{Z}_m \oplus \mathbb{Z}_n$, do đó $\mathbb{Z}_m$ là $\mathbb{Z}_{mn}$-module xạ ảnh (vì $\mathbb{Z}_{mn}$ là module tự do trên chính nó) . Tuy nhiên $\mathbb{Z}_m$ không là $\mathbb{Z}_{mn}$-module tự do, vì mọi tập một phần tử đều phụ thuộc phụ tuyến tính.
3,4) Bạn nên đọc lại kĩ khái niệm tích trực tiếp và tổng trực tiếp.
Phần $3$ và $4$ thực ra thì nói trên khái niệm định nghĩa thì khá rõ ràng là khác nhau. Tuy nhiên khi nêu ra một ví dụ chỉ rõ sự khác biệt đó lại là câu chuyện khác. Em sẽ thử đưa ra $2$ ví dụ về việc nó khác nhau như sau:
- Xét $X=\prod_{i\in \mathbb{R}} R_{i}$ và $Y=\oplus_{i\in \mathbb{R}} R_{i}$ thì $|X|=|\mathbb{R}^{\mathbb{R}}|$ và $|Y|=|\mathbb{R}|$ và để thấy $X$ khác $Y$ phải dùng đến lực lượng của chúng tức là phải chứng minh được rằng $|\mathbb{R}^{\mathbb{R}}|>|\mathbb{R}|$. Điều này cần phải dùng đến định lí Erdős-Kaplansky.
Một ví dụ khác như sau
- Xét $X$ là tích trực tiếp các không gian vecto vô hạn chiều và$Y$ là tổng trực tiếp các không gian vô hạn chiều. Thì ta có số chiều của $X$ là vô hạn không đếm được và số chiều của $Y$ là vô hạn đếm được. Để có được cái này thì qua cũng rất là nhiều bước.
Ở câu thứ 3) việc em nói rằng tại sao lại không có:
$Hom(A,\oplus_{i\in I} B_{i}) \cong \oplus_{i\in I} Hom(A,B_{i})$
Ý em muốn xin ví dụ về cái này.
Em cũng đã tìm ra các câu trả lời của mình nên chắc xin tạm dừng thảo luận ở đây ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 13-04-2016 lúc 09:53 PM
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:47 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 48.37 k/53.60 k (9.75%)]