|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
24-10-2013, 07:21 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2012 Bài gởi: 4 Thanks: 4 Thanked 0 Times in 0 Posts | $f(x)f(y)=2f(x+yf(x))$ Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R+}\rightarrow \mathbb{R+}$ thỏa $f(x)f(y)=2f(x+yf(x)) ;\forall x.y <> 0 $ |
24-10-2013, 09:37 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Bài gởi: 253 Thanks: 115 Thanked 121 Times in 63 Posts | Bài này mình có đọc được một lời giải dựa vào khái niệm trù mật, nguyên lý Acsimet. Mình nghĩ là nó không hợp với chương trình phổ thông. |
24-10-2013, 09:58 PM | #3 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2012 Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa Bài gởi: 539 Thanks: 292 Thanked 365 Times in 217 Posts | Anh thử up kết qua lên, biết đâu có thể tìm được 1 lời giải sơ cấp . __________________ i'll try my best. |
24-10-2013, 10:27 PM | #4 |
+Thành Viên Danh Dự+ | $i)$ $f$ không giảm Giả sử tồn tại $x>y$ mà $f(x)<f(y)$. Thay trong pth $y'=\frac{x-y}{f(y)-f(x)}$ thì $f(x).f(y')=2f(x+y'f(x))=2f(y+y'f(y))=f(y).f(y')$ nên $f(x)=f(y)$ ( mâu thuẫn điều vừa giả sử) $ii)$ Giả sử nếu $f$ tăng (tức $f$ đơn ánh) $2.f(x+f(x))=f(x).f(1)=2.f(1+xf(1))$ nên $x+f(x)=1+xf(1)$ Ta có $f(x)=x(f(1)-1)+1$ ,cho $x$ tiến tới $0$ thì $f(x)$ tiến tới $1$ Mà $f$ tăng nên $f(x).f(y)=2f(x+yf(x)) > 2f(x)$ tức $f(x) >2$ với mọi $x>0$ nên mâu thuẫn. $iii)$ Tồn tại $x>y$ mà $f(x)=f(y)$ Chọn $z$ sao cho $ y< y+zf(y) < x$, do $f$ không giảm nên $f(y)=f(y+zf(y))$ Khi đó $ f(y).f(z)=2f(y+zf(y))=2f(y)$ nên $f(z)=2$ Thay $(z,z)$ vào pt ta có $f(3z)=2$. Quy nạp lên ta có $f(3^{k}.z)=2$ với mọi $k$ nguyên dương, với mọi $z$ thuộc khoảng $[0, \frac{x-y}{f(y)}]$ Việc còn lại chỉ cần c/m với mọi $x_{0} >0 $ thì tồn tại $z$ thuộc khoảng $[0, \frac{x-y}{f(y)}]$, $k$ nguyên dương để $x_{0}=3^{k}.z$, cái này khá là đơn giản. __________________ Hope against hope. thay đổi nội dung bởi: Fool's theorem, 24-10-2013 lúc 11:05 PM |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|