Seminar "Các bài toán về nghiệm của đa thức"

[kaka_math]

Em xin đóng góp vài bài:

1. Cho phương trình: $ax^3 + 27x^2 + 12x + 2001 = 0 $ có 3 nghiệm phân biệt. Hỏi phương trình $4(ax^3 + 27x^2 + 12x + 2001)(3ax + 27) = (3ax^2 + 54x + 12)^2 $ có mấy nghiệm?

2. Cho dãy đa thức: $P(x) = x^3 - 6x^2 + 9x $ và $P_n (x) = P(P(...(P(x))) n $ lần. Tìm số nghiệm của $P(x) $ và $P_n (x) $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi kaka_math

1. Cho phương trình: $ax^3 + 27x^2 + 12x + 2001 = 0 $ có 3 nghiệm phân biệt. Hỏi phương trình $4(ax^3 + 27x^2 + 12x + 2001)(3ax + 27) = (3ax^2 + 54x + 12)^2 $ có mấy nghiệm?

Ta sẽ xét bài toán tổng quát:
Cho ptr $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0\, (1) $. Biết rằng $(1) $ có 3 nghiệm thực phân biệt, hỏi ptr $2f(x).f''(x)=\left[f'(x)\right]^2 $ có bao nhiêu nghiệm thực.
Lời giải:
Đặt $g(x)=2f(x).f''(x)-\left[f'(x)\right]^2 $
$\Rightarrow g'(x)=12a.f(x) $
Gọi 3 nghiệm thực của ptr $(1) $ là $x_1,x_2,x_3\, (x_1<x_2<x_3) $
$\Rightarrow g'(x_i)=0, \, i=\overline{1,3} $.
Ta có $g(x) $ là đa thức bậc 4, có hệ số của $x^4 $ là $3a^2>0\Rightarrow \lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty $
Lập bảng biến thiên của $g(x) $, kết hợp với $g(x_2)=-\left[f'(x_2)\right]^2<0 $
Ta suy ra ptr $g(x)=0 $ luôn có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Em vẫn giữ nguyên max $|a_i/a_1| $-với $a_1 $ là hệ số đầu-hệ số của $x^n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi nvthanh1994

Em vẫn giữ nguyên max $|a_i/a_1| $-với $a_1 $ là hệ số đầu-hệ số của $x^n $

Kí hiệu khác nhau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi Galois_vn

Kí hiệu khác nhau

Mọi người đưa bài tập phong phú quá, mình sẽ ghi chú lại hết, giải ra để trình bày ở seminar lần này; xin cám ơn nhiều và mong nhận thêm các đóng góp nữa.
À, mong được các bạn ủng hộ một số đề bài về quy tắc dấu Đề-các, tài liệu về nội dung đó cũng khó kiếm quá!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Một số bài toán:

1. Cho a < b < c là 3 nghiệm của phương trình $x^3 - 3x + 1 = 0 $. Chứng minh rằng $a^2 - c = c^2 - b = b^2 - a = 2 $.

2. Phương trình $12x^5 + 6x^4 - 4x^3 - x - 34 = 0 $ có bao nhiêu nghiệm dương?

3. Với những giá trị nào của n thì tồn tại các số dương $a_0, a_1, ..., a_n $ sao cho mỗi phương trình
$ a_0 + a_1x + ... + a_kx^k = 0 (k \le n) $
có k nghiệm thực?

4. Biết rằng các số phức $z_1, z_2, ..., z_n $ là đỉnh của một n-giác lồi. Chứng minh rằng nếu $\frac{1}{z-z_1} + \frac{1}{z-z_2} + ... + \frac{1}{z-z_n} = 0 $ thì z nằm trong n-giác lồi nói trên.

Bài VMO mà các bạn nhắc đến có 1 xuất xứ khá thú vị, lúc nào có dịp tôi sẽ kể lại. Nói chung là nó xuất phát từ 1 bài toán sai (không có lời giải sơ cấp).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Seminar đã diễn ra sôi nổi và thú vị với sự tham gia của khoảng 15 thính giả. Bạn Phúc Lữ đã trình bày các bài toán về nghiệm của đa thức dưới các góc nhìn:
1) Đại số
2) Giải tích
Đồng thời nêu các ứng dụng của nghiệm đa thức trong các dạng toán khác nhau
1) Các bài toán về nghiệm của đa thức
2) Chứng minh bất đẳng thức
3) Chứng minh đẳng thức
4) Trong các bài toán số học
5) Phương trình hàm đa thức

Tài liệu seminar sẽ được hoàn chỉnh và gửi đến diễn đàn sớm.

Seminar sẽ tiếp tục vào ngày 7/11/2010 với chủ đề "Về các cuộc thi Toán ở Nga", báo cáo viên: Trần Nam Dũng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Xin cảm ơn mọi người đã ủng hộ, đóng góp các bài toán để mình hoàn thành chuyên đề.
Dưới đây là tài liệu của buổi seminar, xin gửi lên để mọi người tham khảo. Do thời gian không có nhiều nên có vài vấn đề chưa đề cập được và cũng có thể còn vài sai sót nhỏ.
Mong rằng tài liệu này sẽ có ích với các bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thangk50]

Bài toán tìm số nghiệm của $P_n(x)=0 $. Giả sử số nghiệm của nó là $a_n $ bằng cách thiết lập dãy ta được $a_n=\frac{3^n+1}{2} $.
Tiếp theo các bạn có thể tham khảo bài toán sau:
Bài 1. Cho phương trình $f(x)=x^3-3x+1=0 $. Hỏi phương trình $f(f(x))=0 $ có bao nhiêu nghiệm. Tổng quát phương trình $f(f(...f(x)))=0 $ có bao nhiêu nghiệm( trong đó có n lần f).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]