Bất đẳng thức

[hoakotu8]

1, Cho $a, b, c>0 $. Chứng minh rằng
$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\geq (ab+bc+ca)^3 $
2, Tìm góc của tam giác $ABC $
$\cos{\frac{5A}{2}}+\cos{\frac{5B}{2}}+\cos{\frac{5 C}{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2} $
3, Cho $a, b, c>0 $. Chứng minh rằng
$\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^2+b ^2}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^2+c^2}\leq \frac{6}{5} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[superman]

Cái bài 1 này mình đã gởi bên vnmaths rùi, chỉ dùng Holder là dc:hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Quân -k47DHV]

Nguyên văn bởi hoakotu8

1, Cho $a, b, c>0 $. Chứng minh rằng
$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\geq (ab+bc+ca)^3 $
2, Tìm góc của tam giác $ABC $
$\cos{\frac{5A}{2}}+\cos{\frac{5B}{2}}+\cos{\frac{5 C}{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2} $
3, Cho $a, b, c>0 $. Chứng minh rằng
$\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^2+b ^2}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^2+c^2}\leq \frac{6}{5} $

câu 1 holder cho $(a^2 , ab ,b^2) , (c^2 , b^2 , bc ) , ( ac , a^2 , c^2) $ .
câu 3: use pp pháp tuyến .

bđt tương đương


$\sum { \frac {(a+b+c)^2 }{a^2 + (b+c)^2 } } <= \frac{27}{5} $.

đặt $a+b+c = 3 $
-->$ \sum{ \frac{1}{2x^2 - 6x + 9 } <= \frac{3}{5} . $

xét$ f(x) = \frac{1}{2x^2 - 6x + 9 } $.--> $f'(x) = \frac{-4x + 6}{(2x^2 - 6x + 9)^2}. $

khi đó dễ cm $f(x) <= f'(1) ( x - 1) + f(1) $ .Đpcm .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conan236]

Nguyên văn bởi hoakotu8

1, Cho $a, b, c>0 $. Chứng minh rằng
$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\geq (ab+bc+ca)^3 $
2, Tìm góc của tam giác $ABC $
$\cos{\frac{5A}{2}}+\cos{\frac{5B}{2}}+\cos{\frac{5 C}{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2} $
3, Cho $a, b, c>0 $. Chứng minh rằng
$\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^2+b ^2}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^2+c^2}\leq \frac{6}{5} $

câu 2 :Giả sử $A \le B \le C $
Đặt $D=\frac{\pi}{2}-\frac{5A}{2} , E=\frac{\pi}{2}-\frac{5B}{2} , F=\frac{5\pi}{2}-\frac{5A}{2} $
$\rightarrow D+E+F = \pi $
ta có :
$\cos{\frac{5A}{2}}+\cos{\frac{5B}{2}}+\cos{\frac{5 C}{2}}=sinD+sinE+sinF \leq \frac{3\sqrt{3}}{2} $
Tới đây thì dễ rồi hen
Câu 3:
Ta có :
BĐT$\Leftrightarrow\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\fr ac{z}{z^2+1}\ge \frac{6}{5} $
trong đó : $x=\frac{b+c}{a} , y=\frac{c+a}{b} , z=\frac{a+b}{c} $
$\Leftrightarrow \frac{(x-1)^2}{x^2+1}+\frac{(y-1)^2}{y^2+1}+\frac{(z-1)^2}{z^2+1} \ge \frac{3}{5} $
mà :
$\frac{(x-1)^2}{x^2+1}+\frac{(y-1)^2}{y^2+1}+\frac{(z-1)^2}{z^2+1}\ge \frac{x+y+z-3)^2}{x^2+y^2+z^2+3} $
vậy ta chỉ cần c/m :
$\frac{x+y+z-3)^2}{x^2+y^2+z^2+3} \ge \frac{3}{5} $
$\Leftrightarrow (\sum x)^2-15(\sum x)+3(\sum xy) +18 \geq 0 $
nhưng do $x=\frac{b+c}{a} , y=\frac{c+a}{b} , z=\frac{a+b}{c} $
$\Rightarrow xy+yz+zx \ge 2(x+y+z) $
$\Rightarrow (\sum x)^2-15(\sum x)+3(\sum xy) +18 \geq (\sum x)^2-9(\sum x)+18=(\sum x -6)(\sum x-3) \ge 0 $ đúng do $\sum x \ge 6 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Quân -k47DHV]

Nguyên văn bởi conan236

$sinD+sinE+sinF \leq \frac{3\sqrt{3}}{2} $

cái này không đúng đâu em ! nếu $ sinD <= 0 , sinE <=0 , sinF <= 0 $thì sao :hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ghjk]

Nguyên văn bởi Quân -k47DHV

cái này không đúng đâu em ! nếu $ sinD <= 0 , sinE <=0 , sinF <= 0 $thì sao :hornytoro:

HIx thì nó hiển nhiên đúng chứ sao! Ku "Dương Quá" bị tẩu hỏa nhập ma rùi!:hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conga1qt]

Tất nhiên là ko sai nhưng thiếu vài bước lí luận rùi khi giả sử $ A < B < C $ thì ta có 1 vài nhận xét sau:

Khi $ A \in (\frac{\pi}{5}, \frac{3\pi}{5} ) $ thì [tex] thì $ cos{\frac{5A}{2}} < 0 $ khi đó ta có $ \sum cos{\frac{5A}{2}} < 2 < \frac{3\sqrt{3}}{2} $ => loại nên ta có $ A \in (0, \frac{\pi}{5} ) $

Tương tự ta cũng có $ B \in (0;\frac{\pi}{5}) $ => tồn tại cách đặt như vậy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[desolator]

Câu 3 khá giống bài USA MO. Có ai giải mà ko dùng chuẩn hóa không? Em vẫn ko rõ cách chuyển bài làm từ hệ số bất định theo pp tiếp tuyến kết hợp chuẩn hóa sang dạng cosi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Quân -k47DHV]

Nguyên văn bởi caube_tinhnghich2007

Tất nhiên là ko sai nhưng thiếu vài bước lí luận rùi khi giả sử $ A < B < C $ thì ta có 1 vài nhận xét sau:

Khi $ A \in (\frac{\pi}{5}, \frac{3\pi}{5} ) $ thì [tex] thì $ cos{\frac{5A}{2}} < 0 $ khi đó ta có $ \sum cos{\frac{5A}{2}} < 2 < \frac{3\sqrt{3}}{2} $ => loại nên ta có $ A \in (0, \frac{\pi}{5} ) $

Tương tự ta cũng có $ B \in (0;\frac{\pi}{5}) $ => tồn tại cách đặt như vậy

ok, hê hê cái bài trên của tui viết nhầm ,y tôi là nếu góc D < 0 .:hornytoro:

và đây là câu trả lời đúng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kthptdc4]

các bạn giải đáp giúp mình nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kthptdc4]

mình chưa biết gõ công thức lên diễn đàn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kthptdc4]

bài 3 đưa về một biến nhanh hơn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]