$ab$ là ước của $a+b^2+1$

[abcpro002]

Tìm các cặp số nguyên dương $(a;\,b)$ sao cho $ab$ là ước của $a+b^2+1$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Biến đổi chút, nhân $a$ vào $a+b^2+1$ thì vì $ab | a+b^2+1$ nên $ab | a^2+ab^2+1$ suy ra $ab| a^2+1$. Hơn nữa $(a,a^2+1)=1$ nên $b|a^2+1$. Tương tự, nhân $b$ vào $a+b^2+1$ thì ta suy ra được $a| b^2+1$. Từ đó ta có $ab| (a^2+1)(b^2+1)$ dẫn đến $ab| a^2+b^2+1$. Bài này là một bài kinh điển dùng bước nhảy Viet.
Bạn có thể xem bài viết về bước nhảy Viet ở chuyên đề số học của MS
[Only registered and activated users can see links. ]
Bài của bạn ở ví dụ 2 wiki [Only registered and activated users can see links. ]
Bài A5 ở PEN (dùng cái này luyện tập rất bổ ích)
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Minh_Duy]

Nguyên văn bởi mathandyou

Biến đổi chút, nhân $a$ vào $a+b^2+1$ thì vì $ab | a+b^2+1$ nên $ab | a^2+ab^2+1$ suy ra $ab| a^2+1$. Hơn nữa $(a,a^2+1)=1$ nên $b|a^2+1$. Tương tự, nhân $b$ vào $a+b^2+1$ thì ta suy ra được $a| b^2+1$. Từ đó ta có $ab| (a^2+1)(b^2+1)$ dẫn đến $ab| a^2+b^2+1$. Bài này là một bài kinh điển dùng bước nhảy Viet.
Bạn có thể xem bài viết về bước nhảy Viet ở chuyên đề số học của MS
[Only registered and activated users can see links. ]
Bài của bạn ở ví dụ 2 wiki [Only registered and activated users can see links. ]
Bài A5 ở PEN (dùng cái này luyện tập rất bổ ích)
[Only registered and activated users can see links. ]

Có cách đơn giản hơn, không cần VJ đó là từ $a\mid\left(b^2+1\right)$ kết hợp $b\mid (a+1)$, nên với $b>1$ ta sẽ kẹp
\[b - 1 \le k = \frac{{{b^2} + 1}}{a} \le \frac{{{b^2} + 1}}{{b - 1}} < b + 3.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]