Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2017-2018-Lời giải và bình luận

[MATHSCOPE]

Thời điểm này, nhiều tỉnh và các trường chuyên đã và đang hoàn tất việc thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tham dự VMO. Tiếp nối truyền thống nhiều năm trước, www.mathscope.org mở lại chuyên mục này. Công việc này vừa là để các thầy cô và các bạn học sinh có một nguồn tư liệu tham khảo, vừa để thúc tiến các thảo luận của các thành viên Mathscope.

Các bài toán sẽ được chia ra làm các thể loại như sau:

1. Các bài toán Đại Số.
2. Các bài toán Số Học.
3. Các bài toán Hình Học.
4. Các bài toán Giải Tích.
5. Các bài toán Rời Rạc.

Chúng tôi sẽ tập hợp các đề toán theo từng chủ đề, gửi lên đây và chúng ta có thể vào giải và bình luận. Có thể bình luận trực tiếp trong chủ đề này hoặc là gửi file đính kèm. Một số đề mà chúng tôi không chủ động sưu tập được, mong các thành viên đóng góp thêm.

Các bài toán và lời giải-bình luận, sẽ được chúng tôi tổng hợp lại thành 1 file pdf. Bây giờ xin bắt đầu bằng chủ đề Số Học.

Các bài toán Số Học

$\boxed{1}$ [Hà Nội] Cho $x;\, y;\, z$ là các số hữu tỉ sao cho $x+y^{2}+z^{2}$, $y+z^{2}+x^{2}$ và $z+x^{2}+y^{2}$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $2x$ là số nguyên.

$\boxed{2}$ [Hà Nội] Với mọi $n\in \left \{ 1;\,2;\,3 \right \}$, ta gọi số tự nhiên $k$ là một số tự nhiên kiểu $n$ nếu $k=0$ hoặc $k$ là một số hạng của dãy $1;\,n+2;\,(n+2)^{2};\,(n+2)^{3};\,...$ hoặc $k$ là tổng của một số số hạng của dãy trên. Chứng minh rằng bất kì số nguyên dương nào cũng biểu diễn được dưới dạng tổng của một số kiểu 1 với một số kiểu 2 và một số kiểu 3.

$\boxed{3}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Có bao nhiêu hàm số $f:\;\mathbb N^*\longrightarrow\mathbb N^*$ thoả mãn $f(1)=1$ và
\[f(n)f(n+2)=1+f^2(n+1)\quad\forall\,n\in\mathbb N^*\]

$\boxed{4}$ [Đắk Lắk] Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $\left(n^2+11n-4\right)n!+33.13^n+4$ là một số chính phương.

$\boxed{5}$ [Đắk Lắk] Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ. Tìm số các tập con $X$ của $S=\{1;\,2;\,\ldots;\,2p\}$ biết $X$ có đúng $p$ phần tử và tổng các phần tử của $X$ là bội của $p$.

$\boxed{6}$ [Đắk Lắk] Tìm tất cả các bộ số nguyên $(a;\,b;\,c;\,d)$ thoả
\[{a^2} + 35 = {5^b}{6^c}{7^d}\]

$\boxed{7}$ [Hoà Bình] Cho $a;\,b;\,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn
$$a+b+c=a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)$$
Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27.

$\boxed{8}$ [Hoà Bình] Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a;\,b)$ sao cho$\left(a^2+b\right)\left(a+b^2\right)$ là một luỹ thừa của 2.

$\boxed{9}$ [Nghệ An] Số nguyên dương $m$ gọi là số hoàn hảo nếu tổng các ước nguyên dương của nó là $2m$. Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $1+n^n$ là số hoàn hảo.

$\boxed{10}$ [Đồng Tháp] Có tồn tại hay không số nguyên dương $n$ sao cho $\dfrac{(n+1)(6n+1)}{2017}$ là số chính phương?

$\boxed{11}$ [Đồng Tháp] Xét tập hợp $S=\{1;\,2;\,\ldots;\,2017\}$. Ta tô màu mỗi phần tử của $S$ bởi một trong năm màu là Xanh, Đỏ, Tím, Vàng và Nâu. Chứng minh rằng tồn tại ba phần tử phân biệt $a;\,b;\,c$ của $S$ có cùng màu và thoả mãn $a\mid b$ và $b\mid c$.

$\boxed{12}$ [Đồng Nai] Cho hai đa thức sau
\[\begin{align*}P(x)=&x^5+5x^4+5x^3+5x^2+1\\
Q(x)=&x^5+5x^4+3x^3-5x^2-1
\end{align*}\]
Tìm số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số tự nhiên $a$ với $a<p$ thoả mãn $p$ là ước chung của $P(a)$ và $Q(a)$. Với $p$ tìm được, hãy tìm tất cả các số tự nhiên $a$ thoả mãn điều đó.

$\boxed{13}$ [Đắc Nông] Tìm các số nguyên dương $a;\,b;\,c;\,d$ thoả mãn $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ và
\[{a^{2018}} + {b^{2018}} + {c^{2018}} + {d^{2018}} \;\text{là}\;\text{số}\;\text{nguyên}\;\text{t ố}. \]

$\boxed{14}$ [Đắc Nông] Tìm các số nguyên $a;\,b$ thoả mãn $2^na+b$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.

$\boxed{15}$ [Hà Nam] Tìm các bộ số nguyên dương $(a;\,b;\,c;\,d)$ thoả mãn
\[a^2+2^{b+1}=3^c\]

$\boxed{16}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho dãy số $\left(a_n\right)$ xác định bởi công thức sau: \[a_0=1;\,a_1=4;\,a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n\quad\forall \,n \in\mathbb N.\]
Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là bội của 2017.

$\boxed{17}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $n$ là số nguyên dương. Giả sử phương trình $\dfrac {1}{\sqrt [3]{x}} + \dfrac {5}{\sqrt [7]{y}} = \dfrac {1}{n}$ có $m$ cặp nghiệm nguyên dương $(x;\,y)$ và $m-1$ là số chính phương. Chứng minh rằng $n$ là số chính phương.

$\boxed{18}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn với mọi $k$ nguyên dương, tồn tại $m$ nguyên dương sao cho $n$ là ước của $m^4+m^3+m^2+k$.

$\boxed{19}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho $P(n)$ là ước của $3^n-1$ với mọi số nguyên dương $n$ và $P(2017=1)$.

$\boxed{20}$ [Thanh Hoá] Cho $a$ và $b$ là các số nguyên dương, thỏa mãn các điều kiện:
$$a|{{b}^{2}},\,\,\,\,{{b}^{3}}|{{a}^{4}},\,\,\,\, {{a}^{5}}|{{b}^{6}},\,\,\,\,{{b}^{7}}|{{a}^{8}},\, \,...$$
Chứng minh rằng $a=b$.

$\boxed{21}$ [Hà Tĩnh] Tìm tất cả các cặp số nguyên $\,(a;b)$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, ta có $n$ chia hết cho $a^n+b^{n+1}$.

$\boxed{22}$ [Lào Cai] Tìm ước nguyên tố nhỏ nhất của $12^{2^{15}}+1$.

$\boxed{23}$ [Quảng Ninh] Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $\dfrac{3^{p-1}-1}{p}$ là một số chính phương.


PS. Tôi gửi kèm file Số Học pdf, tex và word.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[2M]

Nguyên văn bởi MATHSCOPE

$\boxed{19}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho $P(n)$ là ước của $3^n-1$ với mọi số nguyên dương $n$.

Bài toán mở rộng cho bài trên.

Bài toán. Tìm $P(x)\in\mathbb Z[x]$ và $a;\,b\in\mathbb Z^+$ với $a>b$ sao cho
\[\dfrac{a^n-b^n}{P(n)}\in\mathbb Z\;\forall\,n\in\mathbb Z^+.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NaLDo]

Nguyên văn bởi MATHSCOPE

$\boxed{14}$ [Đắc Nông] Tìm các số nguyên $a;\,b$ thoả mãn $2^na+b$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.

Lời giải. Giả sử $a;\,b$ là các số thoả mãn, trước hết ta thấy nếu $a\ne 0$ thì $b\ne 0$. Bởi nếu ngược lại, ta chỉ cần chọn $n$ lẻ hoặc chẵn tuỳ theo $a$ có là số chính phương hay không là sẽ thấy không thoả. Với $b\ne 0$, ta xét các trường hợp sau.

1. Nếu $a<0$, khi đó do $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{2^n}a + b} \right) = - \infty$ nên không thoả yêu cầu.
2. Nếu $a>0$, xét dãy $\sqrt{2^na+b}=x_n $ ta thấy dãy tăng và có $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } x_n = + \infty$. Lại vì $x_n\in\mathbb N$ đồng thời $x_{n+2}\ne 2x_n$ do $b\ne 0$ nên
   \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {4x_n^2 - x_{n + 2}^2} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {2{x_n} - {x_{n + 2}}} \right|\left( {2{x_n} + {x_{n + 2}}} \right) = + \infty \]
   Điều đó mâu thuẫn với việc
   \[\left|4x_n^2 - x_{n + 2}^2\right|=b\]
   Vậy, cũng không xảy đến trường hợp này.
3. Nếu $a=0$, khi đó mọi số chính phương $b$ đều thoả yêu cầu.

Tóm lại, $a=0$ và $b$ là số chính phương.

Nguồn: [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tikita]

Nguyên văn bởi MATHSCOPE

$\boxed{7}$ [Hoà Bình] Cho $a;\,b;\,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn
$$a+b+c=a^2(c-b)+b^2.(a-c)+c^2(b-a)$$
Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27.

Đầu tiên ta chú ý rằng $a+b+c$ chia hết cho $3$ khi và chỉ khi $a,b,c$ có cùng số dư khi chi cho $3$ hoặc có số dư đôi một khác nhau khi chia cho $3$.
Trở lại bài toán, từ giả thiết ta được
$$a+b+c=(a-b)(b-c)(c-a).$$
+ Nếu $a,b,c$ có số dư đôi một khác nhau khi chia cho $3$, khi đó $a+b+c$ chia hết cho $3$ còn $(a-b)(b-c)(c-a)$ không chia hết cho $3$, nên không xãy ra trường hợp này.
+ Nếu có ít nhất hai số trong ba số $a,b,c$ có cùng số dư khi chia cho $3$. Khi đó vế phải chia hết cho $3$, suy ra $a+b+c$ chia hết cho $3$, hay từ nhận xét trên ta được $a,b,c$ có cùng số dư khi chia cho $3$. Vậy $a+b+c$ chia hết cho $27$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Duy đẹp trai]

Nguyên văn bởi MATHSCOPE

$\boxed{15}$ [Hà Nam] Tìm các bộ số nguyên dương $(a;\,b;\,c;\,d)$ thoả mãn
\[a^2+2^{b+1}=3^c\]

Xét mod 4 có luôn $c$ chẵn, đặt $c=2m$ là có
\[\left( {{3^m} - a} \right)\left( {{3^m} + a} \right) = {2^{b + 1}}\]
Từ đây có $3^m-a=2^l;\;3^m+a=2^k$ với $l<k$ rồi dẫn đến $l=1$. Ta đặt $k-l=n$ là có bài toán quá quen thuộc
\[3^m=2^n+1;\quad\,m;\,n\in\mathbb Z^+.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MATHSCOPE]

CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

$\boxed{1}$ [Quảng Ninh] Cho ba số thực dương $a;\, b;\, c$ có tổng bằng 3. Chứng minh rằng:
\[\dfrac{{{a^2}}}{{2a + 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{2b + 1}} + \dfrac{{{c^2}}}{{2c + 1}} \leqslant \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 6} }}\]
$\boxed{2}$ [Quảng Ninh] Tìm tất cả các hàm: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left ( x^2-\left ( f\left ( y \right ) \right )^2 \right )=x.f(x)+y^2\quad \forall \,x;\,y \in \mathbb{R}\]
$\boxed{3}$ [Quảng Ninh]Cho $P(x),\,Q(x),\,R(x)$ là các đa thức khác hằng, có hệ số thực và thoả mãn:
\[P(x^2-x)+xQ(x^3-x)-(x^2-4)R(x) \quad\forall\, x \in \mathbb{R}\]

• Chứng minh rằng phương trình $Q(x)+R(x-3)$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt.
  
• Giả sử rằng tổng bậc của $P(x),\,Q(x),\,R(x)$ là 5 và hệ số cao nhất của $R(x)$ là 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
  \[M=P^2(0)+8Q^2(3)\]

$\boxed{4}$ [Nghệ An] Giải hệ phương trình sau trên $\mathbb{R}$:
\[ \begin{cases}\sqrt {xy - {x^2}} + 9\sqrt {xy + {x^2}} &= 16y\\
xy - 5x - 4y &= 80 \end{cases}\]
$\boxed{5}$ [Nghệ An] Cho dãy số $\left ( a_{n} \right )$ xác định bởi $a_1>3$ và \[a_{n+1}=2+\dfrac{3}{a_{n}}\quad \forall n \geq 1;\, n \in \mathbb{N}\]
Xác định số thực dương $a$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực $x$ và mọi số nguyên dương $n$:
\[\sqrt{x^2+a_{1}^2}+\sqrt{x^2+a_{2}^2}
+...+\sqrt{x^2+a_{n}^2}
>n\sqrt{x^2+a^2}.\]
$\boxed{6}$ [Nghệ An] Tìm tất cả các hàm đơn điệu: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f(x+f(y))=f(x)+y^n\quad \forall\, x;\,y\in\mathbb R.\]
Trong đó $n$ là số nguyên dương cho trước.
$\boxed{7}$ [Quảng Trị] Cho các số thực dương $x;\,y;\,z$ thay đổi và thoả mãn $xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\[A = \left( {x + y + z} \right)\left( {6 - \frac{x}{y} - \frac{y}{z} - \frac{z}{x}} \right)\]
$\boxed{8}$ [Quảng Trị] Cho hàm số $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ trong đó $a;\,b;\,c;\,d$ là các hằng số thực thoả mãn $f(-1)=100;\,f(-2)=200$ và $f(-3)=300$. Tính giá trị của biểu thức
\[P = \frac{{f\left( {10} \right) + f\left( { - 14} \right)}}{{16}} - 582.\]
$\boxed{9}$ [Tiền Giang] Tìm tất cả các hàm: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f\left( {x + y} \right) \ge f\left( x \right)f\left( y \right) \ge {2017^{x + y}}\quad \forall\, x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{10}$ [Tiền Giang] Cho hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn đồng thời các tính chất sau:

• $f(1)=1.$
  
• $f(x+y)-f(x)-f(y)=2xy\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.$
  
• $f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{f(x)}{x^2}\quad \forall\,x\ne 0.$
  

Tính $f\left(\sqrt{2017}\right)$.

$\boxed{11}$ [Hà Nam] Tìm tất cả các hàm: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f\left( {f\left( x \right) + ay} \right) = \left( {{a^2} + a} \right)x + f\left( {f\left( y \right) - x} \right)\quad \forall\, x;\,y\in\mathbb R.\]
Trong đó $a$ là một hằng số và $a\notin\{0;\,-1\}$.

$\boxed{12}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Cho các số thực dương $a;\,b;\,c$ thoả $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng mình rằng
\[\frac{a}{{\sqrt {\left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right)} }} + \frac{b}{{\sqrt {\left( {c + 2} \right)\left( {a + 2} \right)} }} + \frac{c}{{\sqrt {\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)} }} \ge 1.\]
$\boxed{13}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Cho số nguyên dương $n$ và đa thức hệ số thực
\[P\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}\]
Biết rằng $P(0);\,P(1);\,\ldots;\,P(n)$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $P(m)$ là số nguyên với mọi số nguyên $m$.

$\boxed{14}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Tìm tất cả các hàm: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {f\left( x \right) + {x^2} + y} \right) = {x^2} + f\left( x \right) + f\left( y \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{15}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Có bao nhiêu hàm số $f:\;\mathbb N^*\longrightarrow\mathbb N^*$ thoả mãn $f(1)=1$ và
\[f(n)f(n+2)=1+f^2(n+1)\quad\forall\,n\in\mathbb N^*\]
$\boxed{16}$ [Đồng Nai] Tìm tất cả các hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {xf\left( y \right) - yf\left( x \right)} \right) = f\left( {xy} \right) - xy\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{17}$ [Đồng Tháp] Cho $a;\,b;\,c$ là các số thực dương, chứng minh rằng
\[\frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{b\left( {c + a} \right)}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} + \frac{{c\left( {a + b} \right)}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge 2.\]
$\boxed{18}$ [Đồng Tháp] Tìm các đa thức $P(x)$ có bậc không vượt quá 3 và thoả mãn
\[P\left( {6{x^2} - x - 1} \right) + P\left( {1 - 6{x^2} - x} \right) = 1 + {P^2}\left( {2x} \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
$\boxed{19}$ [Đắk Lắk] Cho các số thực dương $a;\,b$ với $a>b$, và bất phương trình
\[x^2-(a+b)x+ab\le 0\]
Giả sử $x_1;\,x_2;\,\ldots;\,x_n$ là các nghiệm của bất phương trình trên, chứng minh rằng
\[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n}} \right)}^2}}}{{n\left( {x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2} \right)}} \ge \frac{{4ab}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]
$\boxed{20}$ [Đắk Lắk] Tìm các đa thức $P(x)\in\mathbb R[x]$ thoả mãn
\[\left( {{x^2} + 2x} \right)P\left( {x + 1} \right) = \left( {{x^2} + 4x + 3} \right)P\left( x \right) + 2{x^2} + 2x\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
$\boxed{21}$ [Đắk Lắk] Giải hệ phương trình
\[\begin{cases}\dfrac{x}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - \dfrac{{x + y}}{{\sqrt {1 + xy} }}&=0\\
\sqrt {\left( {2x - 2} \right)\left( {y + 5} \right)} + \sqrt {\left( {2y - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} &= 3 + 3\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {y + 5} } \right)
\end{cases}\]
$\boxed{22}$ [Đắk Lắk] Cho hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right) = {x^2} + f\left( {yf\left( x \right)} \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]

• Chứng minh $f(x)$ là đơn ánh.
  
• Tìm hàm $f(x)$.
  

$\boxed{23}$ [Tây Ninh] Cho các số thực dương $x;\,y;\,z$ thoả $xyz=1$, chứng minh rằng
\[\frac{1}{{\sqrt[4]{{{x^3} + 2{y^3} + 6}}}} + \frac{1}{{\sqrt[4]{{{y^3} + 2{z^3} + 6}}}} + \frac{1}{{\sqrt[4]{{{z^3} + 2{x^3} + 6}}}} \le \sqrt 3 \]
$\boxed{24}$ [Tây Ninh] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả mãn
\[f\left( {f\left( n \right)} \right) + 2f\left( n \right) = 3n + 2\quad\forall\,n\in\mathbb N.\]
$\boxed{25}$ [Đà Nẵng] Với mỗi số thực $t$, gọi $g(t)$ là số các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
\[f\left( {xy + f\left( y \right)} \right) = t + yf\left( x \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
Tìm hàm số $g(t)$.


$\boxed{26}$ [Hà Tĩnh] Cho các số thực không âm $a;\,b;\,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2\le 3$. Chứng minh rằng
\[\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c - abc} \right) \ge 2\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right)\]
$\boxed{27}$ [Hà Tĩnh] Cho hai đa thức bậc ba:
\[P(x)=x^3+2x^2-7x-16,\quad Q(x)=x^3+3x^2+8x-4\]

• Chứng minh rằng mỗi đa thức đều có một nghiệm dương duy nhất.
  
• Gọi các nghiệm dương của $P(x),\, Q(x)$ lần lượt là $p;\, q$. Chứng minh rằng: \[\sqrt{p}-\sqrt{q}=1.\]
  

$\boxed{28}$ [Hoà Bình] Tìm các đa thức hệ số thực $P(x)$ thoả mãn
\[xP\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 3} \right)P\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
$\boxed{29}$ [Hoà Bình] Tìm các đa thức hệ số thực $P(x)$ thoả mãn
\[{P^2}\left( x \right) = 2P\left( {2{x^2} - 1} \right) + 3\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
$\boxed{30}$ [Hoà Bình] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
\[f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {x + y} \right)f\left( {x - y} \right) + {y^2}\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{31}$ [Hoà Bình] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
\[f\left( x \right) + f\left( y \right) + f\left( {xy} \right) = f\left( {x + y} \right) + f\left( x \right)f\left( y \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{32}$ [Đắk Nông] Tìm các hàm số $f:\, \left(0;\,+\infty\right)\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
\[\frac{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}{{1 + \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = {x^2}f\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
$\boxed{33}$ [Đắk Nông] Trong tập hợp $[-1;\,1]$, lấy bất kì các giá trị $x;\,y;\,z$ thoả mãn có tổng bằng 0 và tổng bình phương bằng 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[P=x^{2018}+y^{2018}+z^{2018}.\]
$\boxed{34}$ [Đắk Nông] Biết rằng $x;\,y;\,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2+xyz=4$. Chứng minh rằng: \[x+y+z \geqslant \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}.\] Dấu "=" xảy ra khi nào?


$\boxed{35}$ [Hà Nội] Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện: \[f(\tan x)=\dfrac{1}{2}\sin 2x-\cos 2x\quad \forall x\in \left ( -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right )\]
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
\[f\left(\sin^2x \right)f\left(\cos^2x\right);\quad (x\in \mathbb{R})\]
$\boxed{36}$ [Hà Nội] Tìm tất cả các đa thức $P(x$) với hệ số thực sao cho:
\[P^2(x)^2=2P(x^2-3)+1\quad \forall x \in \mathbb{R}.\]
$\boxed{37}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {{n^2}} \right) = f\left( {n + m} \right)f\left( {n - m} \right) + {m^2}\quad \forall \,m;\,n \in \mathbb{R}.\]
$\boxed{38}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên thoả mãn $P(2017)=1$, và $3^{n}-1$ chia hết cho $P(n)$ với mọi số nguyên dương $n$.


$\boxed{39}$ [Thanh Hoá] Cho dãy số: $a_{0};\,a_{1};\,a_{2};\,...$ thoả mãn: \[a_{m+n}+a_{m-n}=\dfrac{1}{2}(a_{2m}+a_{2n})\quad\forall\,m;\,n \in \mathbb N,\; m\geqslant n.\] Nếu $a_{1}=1$, hãy xác định: $a_{2017}$.


$\boxed{40}$ [Huế] Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
\[f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{y^3}} \right) = (x + y)\left( {f\left( {{x^2}} \right) + f\left( {{y^2}} \right)} - f\left( {xy} \right)\right) \quad\forall \,x;\,y \in \mathbb{R}\]
$\boxed{41}$ [Huế] Cho $a_0>a_1>a_2>...>a_n$ là các số nguyên dương sao cho $a_0-a_n<a_1+a_2+...+a_n$. Chứng minh tồn tại $i$ với $1 \le i \le n$ sao cho :
\[0 \le a_0-(a_1+a_2+...+a_i)<a_i.\]
$\boxed{42}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P\left(\sqrt [3]{3}\right)=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.


$\boxed{43}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $a;\,b;\,c$ là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) \ne 0$. Chứng minh rằng: \[\dfrac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \dfrac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \dfrac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geqslant 0.\]
$\boxed{44}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
\[f\left( {\left( {x - y} \right)f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right) + \left( {x + 1} \right)f\left( {y - x} \right) + x = 0\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{45}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $a;\,b;\,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\[\frac{{{a^3}}}{{{b^2} - bc + {c^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^2} - ca + {a^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^2} - ab + {b^2}}} + \frac{9}{{2(ab + bc + ca)}} \ge \frac{9}{2}.\]
$\boxed{46}$ [Lâm Đồng] Giải hệ phương trình
\[\begin{cases}
x\sqrt {{y^2} + 3y + 4} + y\sqrt {{x^2} - x + 1} &= x + y\\
\left( {{x^2} - x} \right)\sqrt {x - y + 1} - y - 3 &= 2{x^2} - 3x
\end{cases}\]
$\boxed{47}$ [Lâm Đồng] Cho các số thực dương $x;\,y;\,z$ thoả mãn điều kiện
\[x^3+y^2+z=1+2\sqrt 3\]
Tìm giá trị nhỏ nhất của
\[P = \frac{1}{x} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^3}}}\]
$\boxed{48}$ [Lâm Đồng]Tìm các đa thức $P(x)$ hệ số thực thoả mãn
\[P\left( x \right)P\left( {x + 1} \right) = P\left( {2{x^2} + 8x + 6} \right)\]

PS. Gửi kèm file LaTex và pdf.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Thụy An]

Nguyên văn bởi MATHSCOPE

$\boxed{19}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho $P(n)$ là ước của $3^n-1$ với mọi số nguyên dương $n$ và $P(2017=1)$.

Giả sử $P(x)$ là đa thức thoả yêu cầu.

1. Nếu $\deg(P)\ge 1$, khi đó sẽ tồn tại $n\in\mathbb Z^+$ và số nguyên tố $p$ thoả $p\mid P(n)$. Theo giả thiết thì $p\mid 3^n-1$ , mặt khác ta lại có $P(n+p)-P(n)\;\vdots\;p$ cho nên lại có được
   \[p\mid 3^{n+p}-1\]
   Từ $3^n\equiv 3^{n+p}\equiv 1\pmod p$ và định lý Fermat bé, ta có $p\mid 2$. Như vậy, ước nguyên tố nếu có của $P(n )$ chỉ có thể là 2 và điều này không thể xảy ra theo định lý Schur.
2. Nếu $\deg(P)\le 0$, thế thì vì $P(2017)=1$ nên $P(x)=1$ đa thức này tất nhiên thoả mãn.

Tóm lại $P(x)=1$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Duy đẹp trai]

Nguyên văn bởi MATHSCOPE

$\boxed{13}$ [Đắc Nông] Tìm các số nguyên dương $a;\,b;\,c;\,d$ thoả mãn $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ và
\[{a^{2018}} + {b^{2018}} + {c^{2018}} + {d^{2018}} \;\text{là}\;\text{số}\;\text{nguyên}\;\text{t ố}. \]

Tối giản phân số $\dfrac{a}{b}$ thành phân số $\dfrac{m}{n}$, để thấy sẽ tồn tại các số nguyên dương $k;\,l;\,m;\,n$ sao cho
\[a=km;\,b=kn;\,c=lm;\,d=ln\]
Như vậy ta có được
\[\begin{align*}
{a^{2018}} + {b^{2018}} + {c^{2018}} + {d^{2018}} &= {k^{2018}}{m^{2018}} + {k^{2018}}{n^{2018}} + {l^{2018}}{m^{2018}} + {l^{2018}}{n^{2018}}\\
&= \left( {{k^{2018}} + {l^{2018}}} \right)\left( {{m^{2018}} + {n^{2018}}} \right)
\end{align*}\]
Vì $k^{2018} + l^{2018}>1;\;m^{2018} + n^{2018}>1$ nên ta thấy không tồn tại các số nguyên dương $a;\,b;\,c;\,d$ thoả yêu cầu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Minh_Duy]

------------------------------

Nguyên văn bởi MATHSCOPE

$\boxed{48}$ [Lâm Đồng]Tìm các đa thức $P(x)$ hệ số thực thoả mãn
\[P\left( x \right)P\left( {x + 1} \right) = P\left( {2{x^2} + 8x + 6} \right)\]

Từ $2x^2+8x+6=2(x+2)^2-2$, nên ta có
\[P\left( {x - 2} \right)P\left( {x - 1} \right) = P\left( {2{x^2} - 2} \right),\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
Đặt $P(x-2)=Q(x)$ ta có
\[Q(x)Q(x+1)=Q\left(2x^2\right),\quad\forall\,x\in \mathbb{R}.\]
Thay $x$ bởi $\dfrac{1}{2}x$ và đặt $Q\left(\dfrac{1}{2}x\right)=p(x)$, cho ta
\[p(x)p(x+2)=p\left(x^2\right),\quad\forall\,x\in \mathbb{R}.\]
Rõ ràng nếu $\deg(p)\le 0$ thì ta chỉ có $p(x)=0$ và $p(x)=1$ thoả, nên sau đây ta chỉ xét trường hợp $\deg(p)>0$.

Đặt $p(x)=(x-1)^nf(x)$ với $f(x)\in\mathbb R^*[x],\;n\in\mathbb N$ đồng thời $f(1)\ne 0$. Thay vào ràng buộc trên và rút gọn ta được
\[f(x)f\left( {x + 2} \right) = f\left( {{x^2}} \right),\quad\forall\,x\in\mathbb R.\;(*)\]
Đến đây, có 2 hướng giải cho bài toán như sau.

Cách 1. Giả sử $\deg(f)=m\in\mathbb N$, từ $(*)$ đồng nhất hệ số bậc cao nhất cho thấy ta có thể viết $f(x)$ dưới dạng
\[f(x)=(x-1)^m+g(x),\;g(x)\in\mathbb R[x],\,\deg(g)=k<m\]
Thay vào $(*)$ và rút gọn ta được
\[{\left( {x - 1} \right)^m}g\left( {x + 2} \right) + {(x+1)^m}g\left( x \right) = g\left( {{x^2}} \right);\;(**)\]
Bậc ở vế trái của $(**)$ là $m+k$ còn bậc ở vế phải của $(**)$ là $2k$. Từ $m+k>2k$ và $g(1)\ne 0$ ta thấy không xảy ra trường hợp này.

Từ $p(x)=a(x-1)^n\;\forall\,x\in\mathbb R$ ta có $Q(x)=p(2x)=(2x-1)^n$, để có
\[P(x)=Q(x+2)=a(2x+3)^n;\,a\in \{0;\,1\};\,n\in\mathbb N.\]

Cách 2. Nếu $\deg(f)>0$ thì $f(x)$ luôn có một nghiệm phức $\alpha$ nào đó, từ $(*)$ lại có
\[f\left( {{\alpha ^2}} \right) = f\left( \alpha \right)f\left( {\alpha + 2} \right) = 0 = f\left( \alpha \right)f\left( {\alpha - 2} \right) = f\left( {{{\left( {\alpha - 2} \right)}^2}} \right)\]
Do đó, $f(x)$ cũng luôn nhận $\alpha^2$ và $\left(\alpha-2\right)^2$ làm nghiệm, đồng thời do $\alpha\ne 1$ cho nên ta có đánh giá sau
\[\left| {{\alpha ^2}} \right| + \left| {{{\left( {\alpha - 2} \right)}^2}} \right| = 2{\left| {\alpha - 1} \right|^2} + 2 > 2\]
Tức là $f(x)$ luôn có một nghiệm phức $r$ thoả $\left|r_*\right|>1$, từ đây dẫn đến điều mâu thuẫn là $f(x)$ có vô số các nghiệm ở dạng $r_k=\left(r_*\right)^{2^k}$ với $k\in \mathbb{Z}^+$.

Vậy, $f(x)$ là đa thức hằng và ta có các nghiệm của bài toán là như đã nêu ở cuối cách giải 1.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Cutrone]

Nguyên văn bởi MATHSCOPE

$\boxed{22}$ [Đắk Lắk] Cho hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right) = {x^2} + f\left( {yf\left( x \right)} \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]

• Chứng minh $f(x)$ là đơn ánh.
  
• Tìm hàm $f(x)$.
  

Xét $P(x;\,y)$ là khẳng định $f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right) = {x^2} + f\left( {yf\left( x \right)} \right)$ và gọi $\ker (f)=\{x\in\mathbb R:\;f(x)=0\}$.

Ta thấy $f$ không thể là hàm hằng nên từ $P(0;\,x)$ đúng với mọi $x$ ta có $0\in\ker(f)$. Từ $P(x;\,0)$ đúng với mọi $x$, ta có
\[f\left( {xf\left( x \right)} \right) = {x^2}\quad\forall\,x\in\mathbb R;\;(*)\]
Lấy $r\in\ker(f)$ bất kỳ, vì $f(r)=0$ nên ta có
\[0=f(0)=f\left( {rf\left( r \right)} \right) = {r^2}\]
Vậy $\ker(f)=\{0\}$.

1. Do $\ker(f)=\{0\}$ nên để chứng minh $f$ là đơn ánh, ta chỉ cần chỉ ra nếu $f(u)=f(v)$ và $uv\ne 0$ thì $u=v$. Thật vậy, nếu $uv\ne 0$ và $f(u)=f(v)=m\ne 0$ thì từ $P(u;\,v-u)$ đúng ta có
   \[f\left( {um} \right) = f\left( {uf\left( v \right)} \right) = f\left( {u\left( {u + v - u} \right)} \right) = {u^2} + f\left( {\left( {u - v} \right)f\left( u \right)} \right) = {u^2}+f\left( {\left( {u - v} \right)m} \right)\]
   Nhưng từ $(*)$ ta lại có
   \[u^2=f(uf(u))=f(um)\]
   Như vậy $u^2=u^2+f((u-v)m)$, tức $(u-v)m\in\ker(f)$ điều này kết hợp với $m\ne 0$ và $\ker(f)=\{0\}$ cho ta $u=v$.
   
   Vậy $f$ là đơn ánh.
2. Do $f$ là đơn ánh và từ $(*)$ ta có
   \[f(xf(x))=x^2=(-x)^2=f(-xf(-x))\quad\forall\,x\in\mathbb R\]
   Cho nên $xf(x)=-xf(-x)\;\forall\,x\in\mathbb R$ kết hợp $f(0)=0$ cho ta $f(-x)=-f(x)\;\forall\,x\in\mathbb R$.
   
   Do $P(x+y;\,y),\;P(y;\,-x-y)$ và $P(x;\,y)$ đúng với mọi $x;\,y\in\mathbb R$ nên
   \[\begin{align*}
   f\left( {\left( {x + y} \right)f\left( y \right)} \right) &= {\left( {x + y} \right)^2} + f\left( { - xf\left( {x + y} \right)} \right) = {\left( {x + y} \right)^2} - f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right)\\
   - f\left( {yf\left( {x} \right)} \right) &= f\left( {yf\left( { - x } \right)} \right) = {y^2} + f\left( {\left( { - x - y} \right)f\left( y \right)} \right) = {y^2} - f\left( {\left( {x + y} \right)f\left( y \right)} \right)\\
   f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right) &= {x^2} + f\left( y{f\left( x \right)} \right)
   \end{align*}\]
   Từ đó rút ra được
   \[f(yf(x))=xy\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R;\,(**)\]
   Giả sử $f(1)=k$, từ $(*)$ ta có $f(k)=f(1f(1))=1$, cũng từ $(*)$ lại có
   \[f(k)=f(kf(k))=k^2\]
   Cho nên $k=1$ hoặc $k=-1$.
   • Với $k=1$ từ $(**)$ cho $x=1$ để có $f(y)=y\;\forall\,y\in\mathbb R$.
   • Với $k=-1$ có $f(-1)=1$ nên từ $(**)$ cho $x=-1$ để có $f(y)=-y\;\forall\,y\in\mathbb R$.

Như vậy có hai nghiệm hàm thoả mãn là $f_1(x)=x$ và $f_2(x)=-x$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoanganhtran]

$\boxed{21}$ [Quảng Ninh] Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $\dfrac{3^{p-1}-1}{p}$ là một số chính phương.
Bài giải
Giả sử tồn tại số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\dfrac{3^{p-1}-1}{p}$ là một số chính phương. Khi đó tồn tại số tự nhiên $A$ sao cho
$3^{p-1}-1=p.A^2$
Nếu $p=2$ thì $3^{p-1}-1=p.A^2$ hiển nhiên đúng.
Nếu $p > 2$ và $p$ là số nguyên tố nên hiển nhiên $p$ lẻ. Đặt $p-1=2.k$ với $k$ nguyên dương. Khi đó
$3^{2k}-1=p.A^2$ mà $(3^{k}-1,3^{k}+1)=2$ nên tồn tại các số nguyên dương $B$ và $C$ sao cho:
hoặc $3^{k}-1=2pB^2$, $3{k}+1=2C^2$
hoặc $3^{k}-1=2.C^2$, $3^{k}+1=2pB^2$

Trường hợp thứ nhất không thể xảy ra do nếu $3^{k}+1=2C^2$ thì $2.C^2 \equiv1(mod 3)$. Điều này không xảy ra do $C^2$ chỉ có thể đồng dư với 0 hoặc 1 modunlo 3
Trường hợp 2:$3^{k}-1=2.C^2$, $3^{k}+1=2pB^2$
Nếu $k$ lẻ thì theo tính chất bình phương của 1 số nguyên lẻ luôn đồng dư với 1 modunlo 8 nên $3^{k}+1 \equiv 4 (mod 8)$ từ đó suy ra $2.C^2 \equiv 4 (mod 8)$ suy ra $C^2 \equiv 2 (mod 4)$. Điều này là vô lí do 1 số chính phương chỉ đồng dư 0 hoặc 1 modunlo 4
Từ lập luận trên ta có $k$ là số chẵn. Đặt $k=2.m$ với $m$ là số tự nhiên
$$3^{2.m}-1=2.C^2$$ nên hoặc $3^{m}-1=D^2$, $3^{m}+1=2.E^2$
hoặc $3^{m}-1=2.D^2$, $3^{m}+1=E^2$
trong đó $D$ và $E$ là các số nguyên dương và $D.E=C$
Trường hợp thứ nhất, do $D^2$ chỉ có thể đồng dư 0 hoặc 1 modunlo 3 nên $m=0$ hay $k=0$ suy ra $p=1$ vô lí.
Trường hợp 2: $3^{m}-1=2.D^2$, $3^{m}+1=E^2$ nên $3^{m}=(E-1)(E+1)$ suy ra $E-1$ và $E+1$ đều là lũy thừa của 3, mặt khác $(E-1,E+1)=2$ không chia hết cho 3 nên $E-1=1$ hay $3^{m}=3$ nên
$m=1$ suy ra $p=5$. Thử lại thỏa mãn đề bài.
Vậy $p=2$ và $p=5$ là tất cả các số nguyên tố thỏa mãn đề bài.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoanganhtran]

$\boxed{21}$ [Quảng Ninh] Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $\dfrac{3^{p-1}-1}{p}$ là một số chính phương.
Tiếp tục với bài toán khi ta thay 3 bởi 5.
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $\dfrac{5^{p-1}-1}{p}$ là một số chính phương.
Lời giải
Giả sử tồn tại số nguyên tố $p$ thỏa mãn đề bài. Gọi số tự nhiên $A$ là số thỏa mãn $5^{p-1}-1=p.A^2$.
Nếu $p=2$ thì $\dfrac{5^{p-1}-1}{p}=2$ không phải là số nguyên tố.
Nếu $p>2$ thì $p-1$ lẻ nên tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $p-1=2k$.
Khi đó $5^{2k}-1=(5^{k}-1)(5^{k}+1)=pA^2$ và $(5^{k}-1,5^{k}+1)=1$ nên tồn tại các số tự nhiên $B$ và $C$ thỏa
hoặc $$5^{k}-1=2B^2, 5^{k}+1=2pC^2$$
hoặc $$5^{k}-1=2pB^2,5^{k}+1=2C^2$$
Do 1 số chính phương chia 5 dư 0,1,4 nên cả 2 th ko thể xảy ra. Trong th1 thì $5^{k}-1 \equiv 4 \equiv 2B^2 (mod 5)$ từ đó suy ra $B^2$ đòng dư 2 mod 5, vô lí.
Trong th2 thì $5^{k}+1 \equiv 6 \equiv 2C^2 (mod 5)$ nên $C^2 \equiv 3 (mod 5)$, vô lí.
Vậy với số 5 không thỏa mãn số nguyên tố $p$ thỏa mãn đề bài.
Tiếp tục thay số 5 bởi số 7, ta có bài toán:
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $\dfrac{7^{p-1}-1}{p}$ là một số chính phương.
Lời giải
Vẫn với lâp luận như trên.
Nếu $p=2$ thì $\dfrac{7^{p-1}-1}{p}=3$ không phải là 1 số chính phương.
Nếu $p>2$ thì vẫn tồn tại cac số tự nhiên $k$ $B$ $C$ thỏa $p-1=2k$ và:
hoặc $$7^{k}-1=2pB^2, 7^{k}+1=2C^2$$ hoặc $$7^{k}-1=2pB^2, 7^{k}+1=2pC^2$$
Do 1 số chính phương chia 7dư 0,1,2,4 nên trường hợp 2 không xảy ra.
Trường hợp 1:ta có $7^{k}-1$ chia hết cho 3 nên $pB^2$ phải chia hết cho 3 từ đó suy ra hoặc $p=3$ hoặc $B$ chia hết cho 3.
Hiển nhiên thấy $p=3$ thỏa mãn đề bài. Xét đến trưởng hợp $B$ chia hết cho 3 nên $pB^2$ chia hết cho 9 nên $7^{k}-1$ chia hết cho 9 suy ra k chia hết cho 3.
Đặt $k=3m$ và $x=7^{m}$ thì ta có $x^3+1=2C^2$. Hiển nhiên $x+1$ không chia hết cho 3 nên $(x+1,x^2-x+1)=1$ nên x^2-x+1 phải là số chính phương. Điều này không xảy ra.
Vậy $p=3$ là số nguyên tốt duy nhất thỏa mãn đề bài.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoanganhtran]

Đề bài:Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $p$ sao cho $p$ là số nguyên tố và tồn tại số nguyên dương a sao cho $\dfrac {(2a)^{p-1}-1}{p}$ là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử tồn tại cặp số nguyên dương $(a,p)$ thỏa mã đề bài. Khi đó sẽ tồn tại số nguyên dương $A$ sao cho $(2a)^{p-1}-1=pA^2$
Do $(2a)^{p-1}-1$ là số lẻ nên $p$ cũng là số lẻ nên tồn tại số tự nhiên $m$ sao cho $p-1=2m$. Ta có $$(2a)^{2m}-1=pA^2$$
Hiển nhiên $((2a)^{m}-1,(2a)^{m}+1)=1$ nên tồn tại các số nguyên dương $B$ và $C$ sao cho hoặc $$(2a)^{m}-1=B^2,(2a)^{m}+1=pC^2$$
hoặc
$$(2a)^{m}-1=pB^2,(2a)^{m}+1=C^2$$
Trường hợp 1: $$(2a)^{m}-1=B^2,(2a)^{m}+1=pC^2$$
Ta có $(2a)^{m}-1$ là số lẻ nên $B \equiv 1 (mod 2) \Rightarrow B^2 \equiv 1 (mod 4) \Rightarrow (2a)^{m} \equiv 2 (mod 4) \Rightarrow m=1 \Rightarrow p=3$
Chọn a bằng 1 thì $4-1=3.1^2$ hoặc ta cũng có cách tìm ra tất cả các số a thảo mãn như sau:
Ta có $(2a)^2-1=3A^2$ mà $(2a)-1,(2a)+1)=1$ nên tồn tại các số nguyên dương $D$ và $E$ sao cho
hoặc $$2a=D^2+1=3E^2-1$$
hoặc $$2a=D^2-1=3E^2+1$$
Nếu $$2a=D^2+1=3E^2-1$$
thì $D$ và $E$ đều là các số lẻ nên $D+E$ và $D+3E$ đều lẻ và ta có $( \dfrac {D+3E}{2})^2-3( \dfrac {D+E}{2})^2=1$ là phương trình pell loại 1 và $(2,1)$ là bộ nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình pell $x^2-3y^2=1$ nên
$$ \begin{cases}
\dfrac {D+3E}{2}= \frac {(2+ \sqrt{3})^n+(2- \sqrt{3})^n}{2} \\
\dfrac {D+E}{2}= \frac {(2+ \sqrt{3})^n-(2- \sqrt{3})^n}{2 \sqrt{3}}
\end{cases}$$ nên $$E=\frac {(2+ \sqrt{3})^n+(2- \sqrt{3})^n}{2}-\frac {(2+ \sqrt{3})^n-(2- \sqrt{3})^n}{2 \sqrt{3}}$$ mặt khác do $2a=3E^2+1$ nên $E$ lẻ từ đó suy ra n chẵn hay $E=\frac {(2+ \sqrt{3})^{2n}+(2- \sqrt{3})^{2n}}{2}-\frac {(2+ \sqrt{3})^{2n}-(2- \sqrt{3})^{2n}}{2 \sqrt{3}} \Rightarrow a=3( \frac {(2+ \sqrt{3})^{2}+(2- \sqrt{3})^{2n}}{2n}-\frac {(2+ \sqrt{3})^{2n}-(2- \sqrt{3})^{2n}}{2 \sqrt{3}})^2-1$ với n là số tự nhiên.
Nếu $$2a=D^2-1=3E^2+1$$ Trường hợp này không xảy ra do 1 số chính phương chỉ có thể đồng dư 1 mod 3 mà $D^2 \equiv 2 (mod 3)$.
Trường hợp 2: $$(2a)^{m}-1=pB^2,(2a)^{m}+1=C^2$$ mà $(C-1,C+1)=2$ nên tồn tại các số nguyên dương $y$ và $z$ sao cho
hoặc $$C-1=2y^{m}; C+1=2^{t}.z^{m}$$
hoặc $$C+1=2y^{m}; C-1=2^{t}.z^{m}$$ trong đó số nguyên t thỏa mãn $t+1=V_{2}((2a)^{m})=m.V_{2}(2a)$
Suy ra $y^{m}-2^{t-1}.z^{m}= \pm 1$
Hiển nhiên $(a,p)=(y,p)=(z,p)=1$ và $m= \dfrac {p-1}{2}$ nên $y^{m} \equiv \pm 1 (mod p)$ và $z^{m} \equiv \pm 1 (mod p)$
Từ đó ta có hoặc $$2^{t-1}-1 \equiv 1 (mod p)$$ hoặc $$2^{t-1}+1 \equiv -1 (mod p)$$ hoặc $$2^{t-1}+1 \equiv 1 (mod p) \Rightarrow p=2(vô lí) $$ hoặc $$2^{t-1}-1 \equiv -1 (mod p) \Rightarrow p=2(vô lí)$$
Kết hợp các trường hợp trên ta có $2^{2(t-1)}-1 \equiv 1 (mod p) \Rightarrow 2^{2(t+1)} \equiv 8 (mod p) \Rightarrow 1 \equiv 8 (mod p)$ (do $t+1= \dfrac {p-1}{2}.V_{2}(a) \Rightarrow 2(t+1) \equiv 0 (mod p)$ )
suy ra p=7, chọn a=1 thì ta có $2^6-1=7.3^2$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tikita]

Nguyên văn bởi MATHSCOPE

Thời điểm này, nhiều tỉnh và các trường chuyên đã và đang hoàn tất việc thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tham dự VMO. Tiếp nối truyền thống nhiều năm trước, www.mathscope.org mở lại chuyên mục này. Công việc này vừa là để các thầy cô và các bạn học sinh có một nguồn tư liệu tham khảo, vừa để thúc tiến các thảo luận của các thành viên Mathscope.

$\boxed{11}$ [Đồng Tháp] Xét tập hợp $S=\{1;\,2;\,\ldots;\,2017\}$. Ta tô màu mỗi phần tử của $S$ bởi một trong năm màu là Xanh, Đỏ, Tím, Vàng và Nâu. Chứng minh rằng tồn tại ba phần tử phân biệt $a;\,b;\,c$ của $S$ có cùng màu và thoả mãn $a\mid b$ và $b\mid c$.

Ta có $11$ số $1,2,2^2,2^3,2^4,2^5,2^6,2^7,2^8,2^9,2^{10}$ đều thuộc $S$ và chúng được tô bởi một trong năm màu, nên tồn tại ít nhất ba số sẽ được tô cùng màu, đây là ba số cần tìm và thỏa mãn điều kiện bài toán.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tanghikhac]

Nguyên văn bởi MATHSCOPE

$\boxed{30}$ [Hoà Bình] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
\[f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {x + y} \right)f\left( {x - y} \right) + {y^2}\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{37}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
\[f\left( {{n^2}} \right) = f\left( {n + m} \right)f\left( {n - m} \right) + {m^2}\quad \forall \,m;\,n \in \mathbb{R}.\]

Bài của Thanh Hoá và Hoà BÌnh giống nhau

Gọi mệnh đề: "$f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {x + y} \right)f\left( {x - y} \right) + {y^2}$ đúng với $x;\,y$" là $P(x;\,y)$.

Từ $P(x;\,0)$ và $P(0;\,x)$ đúng ta có
\[\begin{align*}
f\left( {{x^2}} \right) &= {f^2}\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R;\;(1).\\
f\left( x \right)f\left( { - x} \right) &= f\left( 0 \right) - {x^2}\quad\forall\,x\in\mathbb R;\;(2).
\end{align*}\]
Đặt $f(0)=k$ từ $P(0;\,0)$ đúng ta có $k^2=k$ nên xét

1. Nếu $k=1$, từ $(1)$ và $(2)$ có luôn $f(1)=f(-1)=0$, lại vì $P(1;\,1)$ đúng mà có
   \[\begin{array}{l}
   0 = f\left( {{1^2}} \right) = f\left( 2 \right)f\left( 0 \right) + {1^2} = f\left( 2 \right) + 1\\
   0 = f\left( { - 1} \right) = f\left( { - 2} \right)f\left( 0 \right) + {\left( { - 1} \right)^2} = f\left( { - 2} \right) + 1
   \end{array}\]
   Tức $f(-2)=f(2)=-1$, nhưng điều này mâu thuẫn khi ta thay $x=2$ vào $(2)$.
2. Nếu $k=f(0)=0$, từ $(1)$ ta có luôn
   \[{f^2}\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {{{\left( { - x} \right)}^2}} \right) = {f^2}\left( { - x} \right)\]
   Điều này kết hợp với $f(x)f(-x)=-x^2$ có được từ $(2)$ mà có
   \[f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R\]
   Từ đây và $(1)$ có $f\left(x^2\right)=x^2\quad\forall\,x\in\mathbb R$, tức là
   \[f\left( x \right) = x\quad\forall\,x\in [0;\,+\infty)\]
   Kết hợp điều này với $f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R$ cho ta nghiệm hàm
   \[f\left( x \right) = x\quad\forall\,x\in\mathbb R\]

Tóm lại có nghiệm hàm duy nhất là $f\left( x \right) = x\quad\forall\,x\in\mathbb R$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]