Bài toán Độ dài cung

hoa anh đào · 10-03-2012, 09:17 PM

Mình thấy bài này phức tạp qúa nên mình xin mọi ngừơi góp ý.
Tính độ dài cung sau đây: $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}} (a>0) $
nguồn bài toán cao cấp của LÊ VIẾT NGƯ

99 · 11-03-2012, 01:22 AM

Ít nhất là đầu tiên bạn phải biết làm thế nào để tính độ dài một cung, cụ thể định nghĩa công thức tính. Rồi thay một tham số hóa vào, bài toán trở về bài toán thi đại học. Tuy nhiên, đôi khi nó cũng hơi cồng kềnh trong tính toán.

hoa anh đào · 11-03-2012, 06:43 AM

Nhưng không anh à bài này em thữ làm rồi nhưng khi rút x,y thay vào pt thì tạo ra một hàm khá khó đễ tính nguyên hàm nên em chủ yếu muốn biết về cách xữ lý bài này

99 · 11-03-2012, 07:17 AM

Bạn tìm một tham số hóa thích hợp. Nên nhớ là độ dài cung không phụ thuộc vào tham số hóa. Bạn chọn tham số $(x,y) \mapsto (x^3,y^3)$ xem thế nào? Tất nhiên là phải kiểm tra xem nó có vi phôi không đã.

hoa anh đào · 11-03-2012, 08:37 AM

Vi phôi là gì hả a.khái niệm này e chưa được học qua.em nhờ anh chỉ rỏ hơn

99 · 11-03-2012, 09:54 AM

Ừm, những cái mình nói trên cũng chưa thực sự có thể tìm ra được lời giải. Mình xem kỹ lại thì thấy tham số hóa là ra thôi mà, công việc chủ yếu là tính tích phân và sử dụng đổi biến, y hệt luyện thi đại học.

Tham số của đường cong $0< x < a \mapsto (x, y(x))$ trong đó $y(x) = (a^{2/3}-x^{2/3})^{3/2}.$ Đến đây áp dụng công tính độ dài cung, và sau đó dùng đổi biến số trong tích phân : $t = x^{1/3}$ => $dx = 3t^2 dt$, thế là xử lý xong cái tích phân.

**batigoal** · 11-03-2012, 10:07 AM

Trích:

Nguyên văn bởi hoa anh đào

Mình thấy bài này phức tạp qúa nên mình xin mọi ngừơi góp ý.
Tính độ dài cung sau đây: $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}} (a>0) $
nguồn bài toán cao cấp của LÊ VIẾT NGƯ

Chia cả hai vế cho$ a^{\frac{2}{3}} $ được phương trình dạng đường tròn. Sử dụng tham số hóa tọa độ cực hoặc chú ý tới đẳng thức lượng giác $\sin ^2 t+\cos^2 t=1 $

hoa anh đào · 11-03-2012, 08:29 PM

Mấy anh góp ý em bài tính độ dài cung này với ?
$y^2=2px (0 < x < x_0) (p>0) $em là như này:${x=\frac{y^2}{2p}} \rightarrow {x'=\frac{y}{2p^2}} \rightarrow {(x')^2=\frac{y^2}{4p^4}} ;{y=\sqrt{2px}} \rightarrow {y'=\frac{p}{\sqrt{2px}} \rightarrow {(y')^2=\frac{p}{2x}} $áp dụng công thức tính cung ta có $\int _o^{x_o} \sqrt{\frac{y^2}{4p^4}+\frac{p}{2x}}{dx} $tới đây em bó tay không biết làm sao tìm ra nguyên hàm mà tính.mọi ngừơi coi nó có vấn đề gì giúp em với.

Galois_vn · 12-03-2012, 08:38 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hoa anh đào

Mấy anh góp ý em bài tính độ dài cung này với ?
$y^2=2px (0 < x < x_0) (p>0) $em là như này:${x=\frac{y^2}{2p}} \rightarrow {x'=\frac{y}{2p^2}} \rightarrow {(x')^2=\frac{y^2}{4p^4}} ;{y=\sqrt{2px}} \rightarrow {y'=\frac{p}{\sqrt{2px}} \rightarrow {(y')^2=\frac{p}{2x}} $áp dụng công thức tính cung ta có $\int _o^{x_o} \sqrt{\frac{y^2}{4p^4}+\frac{p}{2x}}{dx} $tới đây em bó tay không biết làm sao tìm ra nguyên hàm mà tính.mọi ngừơi coi nó có vấn đề gì giúp em với.

Bạn xem có phải độ dài đường cong được tính như sau phải ko?
$x=f(y), y_0<y<y_1 $. Độ đường cong là

$\int_{y_0}^{y_1}\sqrt{1+[f'(y)]^2}dy $

Bạn xem lại công thức của bạn có sai ko!!!?

Nếu tham số hóa $x=x(t), y=y(t), a<t<b $ . Độ dài đường cong là $\int_{a}^{b}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt $

hoa anh đào · 12-03-2012, 09:47 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Galois_vn

Bạn xem có phải độ dài đường cong được tính như sau phải ko?
$x=f(y), y_0<y<y_1 $. Độ đường cong là

$\int_{y_0}^{y_1}\sqrt{1+[f'(y)]^2}dy $

Bạn xem lại công thức của bạn có sai ko!!!?

Nếu tham số hóa $x=x(t), y=y(t), a<t<b $ . Độ dài đường cong là $\int_{a}^{b}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt $

em thấy cong thức này $\int_{y_0}^{y_1}\sqrt{1+[f'(y)]^2}dy $
công thức này áp dụng cho trừơng hợp x=1 và y tùy ý.luôn tiện đây em hỏi anh về vấn đề tham số hoá bài này với nha.

Galois_vn · 12-03-2012, 11:27 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hoa anh đào

em thấy cong thức này $\int_{y_0}^{y_1}\sqrt{1+[f'(y)]^2}dy $
công thức này áp dụng cho trừơng hợp x=1 và y tùy ý.luôn tiện đây em hỏi anh về vấn đề tham số hoá bài này với nha.

Bậy nào!

Đường cong dạng hàm số thì ta tham số là $(t, f(t)) $ hoặc $(g(t),t), t\in (a,b) $. Do đó, có 1 cái đạo hàm bằng 1. Nên có công thức dưới.

**sang89** · 13-03-2012, 03:35 AM

Trích:

Nguyên văn bởi hoa anh đào

${x=\frac{y^2}{2p}} \rightarrow {x'=\frac{y}{2p^2}} \rightarrow {(x')^2=\frac{y^2}{4p^4}} ;{y=\sqrt{2px}} \rightarrow {y'=\frac{p}{\sqrt{2px}} \rightarrow {(y')^2=\frac{p}{2x}} $áp dụng công thức tính cung ta có $\int _o^{x_o} \sqrt{\frac{y^2}{4p^4}+\frac{p}{2x}}{dx} $tới đây em bó tay không biết làm sao tìm ra nguyên hàm mà tính.mọi ngừơi coi nó có vấn đề gì giúp em với.

Bạn hiểu sai công thức tính độ dài cung rồi. Cái bạn ghi $x^\prime, \, y^\prime $ chẳng có nghĩa gì cả. Công thức đúng phải là $\dfrac{dx}{dt},\, \dfrac{dy}{dt} $, nghĩa là lấy đạo hàm theo t.

kimtrongnuoc · 29-03-2012, 09:14 PM

[QUOTE=hoa anh đào;139843]Mấy anh góp ý em bài tính độ dài cung này với ?
$y^2=2px (0 < x < x_0) (p>0) $em là như này:${x=\frac{y^2}{2p}} \rightarrow {x'=\frac{y}{2p^2}} \rightarrow {(x')^2=\frac{y^2}{4p^4}} ;{y=\sqrt{2px}} \rightarrow {y'=\frac{p}{\sqrt{2px}} \rightarrow {(y')^2=\frac{p}{2x}} $áp dụng công thức tính cung ta có $\int _o^{x_o} \sqrt{\frac{y^2}{4p^4}+\frac{p}{2x}}{dx} $tới đây em bó tay không biết làm sao tìm ra nguyên hàm mà tính.mọi ngừơi coi nó có vấn đề gì giúp em với.[QUOET]
độ dài đường cong phẳng L có biểu diễn tham số là g(t)=(x(t),y(t)) bằng tích phân của (căn(x'(t)+y'(t)))dt từ t1 đến t2 vs g(t1) và g(t2) là điểm đầu và cuối của L muốn tính (tất nhiên là x'(t) là đạo hàm theo t).theo minh la the,còn bài x mũ 2/3 thì bạn đặt x=acos^3, y=asin^3

10-03-2012, 09:17 PM	#1
hoa anh đào +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: Ngõ cụt trong hẽm Bài gởi: 45 Thanks: 10 Thanked 0 Times in 0 Posts	Bài toán Độ dài cung Mình thấy bài này phức tạp qúa nên mình xin mọi ngừơi góp ý. Tính độ dài cung sau đây: $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}} (a>0) $ nguồn bài toán cao cấp của LÊ VIẾT NGƯ thay đổi nội dung bởi: hoa anh đào, 10-03-2012 lúc 10:30 PM

11-03-2012, 01:22 AM	#2
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Ít nhất là đầu tiên bạn phải biết làm thế nào để tính độ dài một cung, cụ thể định nghĩa công thức tính. Rồi thay một tham số hóa vào, bài toán trở về bài toán thi đại học. Tuy nhiên, đôi khi nó cũng hơi cồng kềnh trong tính toán.

11-03-2012, 06:43 AM	#3
hoa anh đào +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: Ngõ cụt trong hẽm Bài gởi: 45 Thanks: 10 Thanked 0 Times in 0 Posts	Nhưng không anh à bài này em thữ làm rồi nhưng khi rút x,y thay vào pt thì tạo ra một hàm khá khó đễ tính nguyên hàm nên em chủ yếu muốn biết về cách xữ lý bài này

11-03-2012, 07:17 AM	#4
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Bạn tìm một tham số hóa thích hợp. Nên nhớ là độ dài cung không phụ thuộc vào tham số hóa. Bạn chọn tham số $(x,y) \mapsto (x^3,y^3)$ xem thế nào? Tất nhiên là phải kiểm tra xem nó có vi phôi không đã.

11-03-2012, 08:37 AM	#5
hoa anh đào +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: Ngõ cụt trong hẽm Bài gởi: 45 Thanks: 10 Thanked 0 Times in 0 Posts	Vi phôi là gì hả a.khái niệm này e chưa được học qua.em nhờ anh chỉ rỏ hơn

11-03-2012, 09:54 AM	#6
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Ừm, những cái mình nói trên cũng chưa thực sự có thể tìm ra được lời giải. Mình xem kỹ lại thì thấy tham số hóa là ra thôi mà, công việc chủ yếu là tính tích phân và sử dụng đổi biến, y hệt luyện thi đại học. Tham số của đường cong $0< x < a \mapsto (x, y(x))$ trong đó $y(x) = (a^{2/3}-x^{2/3})^{3/2}.$ Đến đây áp dụng công tính độ dài cung, và sau đó dùng đổi biến số trong tích phân : $t = x^{1/3}$ => $dx = 3t^2 dt$, thế là xử lý xong cái tích phân.

11-03-2012, 08:29 PM	#8
hoa anh đào +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: Ngõ cụt trong hẽm Bài gởi: 45 Thanks: 10 Thanked 0 Times in 0 Posts	Mấy anh góp ý em bài tính độ dài cung này với ? $y^2=2px (0 < x < x_0) (p>0) $em là như này:${x=\frac{y^2}{2p}} \rightarrow {x'=\frac{y}{2p^2}} \rightarrow {(x')^2=\frac{y^2}{4p^4}} ;{y=\sqrt{2px}} \rightarrow {y'=\frac{p}{\sqrt{2px}} \rightarrow {(y')^2=\frac{p}{2x}} $áp dụng công thức tính cung ta có $\int _o^{x_o} \sqrt{\frac{y^2}{4p^4}+\frac{p}{2x}}{dx} $tới đây em bó tay không biết làm sao tìm ra nguyên hàm mà tính.mọi ngừơi coi nó có vấn đề gì giúp em với.

29-03-2012, 09:14 PM	#13
kimtrongnuoc +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2011 Bài gởi: 1 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	[QUOTE=hoa anh đào;139843]Mấy anh góp ý em bài tính độ dài cung này với ? $y^2=2px (0 < x < x_0) (p>0) $em là như này:${x=\frac{y^2}{2p}} \rightarrow {x'=\frac{y}{2p^2}} \rightarrow {(x')^2=\frac{y^2}{4p^4}} ;{y=\sqrt{2px}} \rightarrow {y'=\frac{p}{\sqrt{2px}} \rightarrow {(y')^2=\frac{p}{2x}} $áp dụng công thức tính cung ta có $\int _o^{x_o} \sqrt{\frac{y^2}{4p^4}+\frac{p}{2x}}{dx} $tới đây em bó tay không biết làm sao tìm ra nguyên hàm mà tính.mọi ngừơi coi nó có vấn đề gì giúp em với.[QUOET] độ dài đường cong phẳng L có biểu diễn tham số là g(t)=(x(t),y(t)) bằng tích phân của (căn(x'(t)+y'(t)))dt từ t1 đến t2 vs g(t1) và g(t2) là điểm đầu và cuối của L muốn tính (tất nhiên là x'(t) là đạo hàm theo t).theo minh la the,còn bài x mũ 2/3 thì bạn đặt x=acos^3, y=asin^3