4 bài toán giải tích

[hoangnam94]

1/Cho $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R} $ liên tục tại 0 và thoả mãn $f(2x) = f(x)cosx$, với mọi $x \in \mathbb{R}$
2/Cho hàm $f$ liên tục trên $[a;b]$ và $f: [a;b] \to \mathbb{R}$, sao cho $f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0$. Chứng minh rằng tồn tại số $c \in [a;b]$ sao cho $f(c)= f"(c)$
3/Cho $f: [0;+\infty) \to \mathbb{R}$ là một hàm liên tục, không âm sao cho $lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} = l <1$
Chứng minh rằng tồn tại số $x_0$ sao cho $f(x_0) = x_0$
4/Cho hàm $f: [0;1] \to \mathbb{R}$ liên tục. Tính $lim_{n \to +\infty} (n \int_0^1 x^nf(x)dx$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi hoangnam94

1/Cho $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R} $ liên tục tại 0 và thoả mãn $f(2x) = f(x)cosx$, với mọi $x \in \mathbb{R}$
2/Cho hàm $f$ liên tục trên $[a;b]$ và $f: [a;b] \to \mathbb{R}$, sao cho $f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0$. Chứng minh rằng tồn tại số $c \in [a;b]$ sao cho $f(c)= f"(c)$
3/Cho $f: [0;+\infty) \to \mathbb{R}$ là một hàm liên tục, không âm sao cho $lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} = l <1$
Chứng minh rằng tồn tại số $x_0$ sao cho $f(x_0) = x_0$
4/Cho hàm $f: [0;1] \to \mathbb{R}$ liên tục. Tính $lim_{n \to +\infty} (n \int_0^1 x^nf(x)dx$

Bài 1.
Do $f(x)$ liên tục tại 0 nên $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.
Ngoài ra thay $x=0$ ở PT đã cho thì ta được $f(0)=f(0)$ nên $f(0)=c$ tùy ý.
Theo giả thiết thì $f(x) = f(\frac{x}{2}) \cos \frac{x}{2}$. Cứ như thế, thay dần dần vào, suy ra $f(x) = f(\frac{x}{2^n}) \prod_{i=1}^n \cos \frac{x}{2^i}$.
Cho $n$ tiến tới vô cực thì $\lim_{n \to \infty} f(\frac{x}{2^n}) = \lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ nên đưa về $f(x) = c \lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n \cos \frac{x}{2^i}$.

Bài 2.
Xét hàm số $g(x)=e^{-x}(f(x)+f'(x))$ thì $g(a)=g(b)=0$.
Ngoài ra $g'(x) = -e^{-x}(f(x)+f'(x))+e^{-x}(f'(x)+f"(x))=e^{-x}(-f(x)+f"(x))$.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho $g(c)=0$ hay $f(c)=f"(c)$.

Bài 3.
Xét hàm số $g(x)=f(x)-x$ thì do $f(x)$ không âm nên $g(0)=f(0) \ge 0$.
Ngoài ra $\lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}-1 = l-1<0$ nên $\lim_{x \to \infty} g(x) < 0$.
Suy ra tồn tại $c>0$ đủ lớn sao cho $g(c) < 0$.
Do hàm $f(x)$ liên tục nên $g(x)$ cũng liên tục, do đó $g(0)g(c) \le 0$ dẫn đến tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)=x_0$.

Bài 4.
Có thể sử dụng đánh giá $(\int_a^b f(x)g(x)dx)^2 \le \int_a^bf^2(x)dx \int_a^bg^2(x)dx$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]