Hướng tới kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO 2012

[Mr Stoke]

Nguyên văn bởi macdangnghi

Bài 29.
a) Tìm tất m nguyên dương sao cho $m^2-1 $ là ước của $3^m+5^m $.

b) Tìm m nguyên dương sao cho $5^{m}+3^{m} $ chia hết cho $m^{2}-1 $.

c) Tìm các số nguyên dương $a,b,n (a>b) $ thỏa mãn $n^{a}|a^{n}+b^{n} $.

Đang cần tĩnh dưỡng mà post bài nhiệt tình thế bạn ơi. Mấy bài này có vẻ câu b) không có ý nghĩa lắm vì độ tăng của $5^m+3^m $ "khỏe" hơn rất nhiều so với $m^2-1 $. Tuy nhiên, câu (a) bài này khá hay. MS cũng tò mò xem có bạn nào giải được bài này không? Theo trí nhớ của MS thì tác giả bài này là harazi (Gabriel Dospinescu), và đã từng post trên ML cách đây mấy năm.
------------------------------
Nhân tiện, hưởng ứng sự nhiệt tình của các bạn, MS gửi tặng 1 bài (bài này MS ban đầu định ra làm đề chọn đội tuyển sphn năm nay). Các bạn cùng suy nghĩ xem

Bài 38: Cho $m\geq5 $ là một số nguyên và $a $ là số nguyên có dạng $16k+1 $. Xét dãy số $(u_n) $ được xác định bởi $u_0=0, u_1=1, u_{n+2}=u_{n+1}+a\cdot u_n $ với mọi $n\geq0 $. Kí hiệu $v_n $ là số dư của $u_n $ khi đem chia cho $2^m $. Chứng minh rằng $(v_n) $ tuần hoàn và tìm chu kì bé nhất của dãy đó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]