Bài toán Euler về cô-níc

Evarist Galois · 22-06-2010, 07:01 PM

Đây là bài toán có tên bài toán Euler:
"Chứng minh rằng nếu một tam giác thỏa mãn trực tâm của nó và 3 đỉnh cùng thuộc một conic thì conic đó là hypebol vuông" (hypebol vuông là hypebol có 2 tiêm cận vuông góc với nhau)

**huynhcongbang** · 23-06-2010, 01:36 PM

Mình nhớ có được đọc bài này trong chuyên đề về "Hình học giải tích" của thầy Phan Huy Khải. Đây quả là một kết quả đẹp!
Bài toán ngược của nó có vẽ dễ chứng minh hơn:
"Trong mặt phẳng tọa độ, cho hyperbol vuông (H): $xy = a $, (a khác 0). Trên đó lấy các điểm A, B, C không thẳng hàng. Chứng minh rằng trực tâm tam giác ABC cũng thuộc (H)."
Không mất tính tổng quát, xét a = 1 (vì nếu a khác 1) thì đổi độ dài các đoạn thẳng trên các trục tọa độ.
Nhận xét rằng nếu $A(x_1; \frac{1}{x_1}), B(x_2; \frac{1}{x_2}) $ nằm trên (H) thì $tan\alpha = \frac{\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}}{x_2-x_1}=-\frac{1}{x_1.x_2} $, trong đó $\alpha $ là góc tạo bởi AB với trục hoành.
Xét thêm hai điểm $C(x_3; \frac{1}{x_3}), D(x_4; \frac{1}{x_4}) $ thuộc (H) và khác A, B thì cũng tương tự góc tạo bởi CD với trục hoành là $-\frac{1}{x_3.x_4} $.
Suy ra: AB vuông góc với CD khi và chỉ khi tích hệ số góc của chúng phải bằng -1 hay $\frac{1}{x_1.x_2.x_3.x_4}=-1 $ hay $x_1.x_2.x_3.x_4=-1 $.
Các điều kiện trên là tương đương nên suy ra rằng nếu AB vuông góc với CD thì AC vuông góc với BD, BC vuông góc với AD.
* Trở lại việc chứng minh bổ đề trên: gọi H là giao điểm của đường cao hạ từ A của tam giác ABC với hyperbol thì ta cũng có BH vuông góc với AC, CH vuông góc với AB. Suy ra H là trực tâm của tam giác tức là trực tâm của ABC thuộc (H) (đpcm).

22-06-2010, 07:01 PM	#1
Evarist Galois +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Đến từ: Từ A0 đến FTU Bài gởi: 320 Thanks: 57 Thanked 180 Times in 95 Posts	Bài toán Euler về cô-níc Đây là bài toán có tên bài toán Euler: "Chứng minh rằng nếu một tam giác thỏa mãn trực tâm của nó và 3 đỉnh cùng thuộc một conic thì conic đó là hypebol vuông" (hypebol vuông là hypebol có 2 tiêm cận vuông góc với nhau)

23-06-2010, 01:36 PM	#2
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Mình nhớ có được đọc bài này trong chuyên đề về "Hình học giải tích" của thầy Phan Huy Khải. Đây quả là một kết quả đẹp! Bài toán ngược của nó có vẽ dễ chứng minh hơn: "Trong mặt phẳng tọa độ, cho hyperbol vuông (H): $xy = a $, (a khác 0). Trên đó lấy các điểm A, B, C không thẳng hàng. Chứng minh rằng trực tâm tam giác ABC cũng thuộc (H)." Không mất tính tổng quát, xét a = 1 (vì nếu a khác 1) thì đổi độ dài các đoạn thẳng trên các trục tọa độ. Nhận xét rằng nếu $A(x_1; \frac{1}{x_1}), B(x_2; \frac{1}{x_2}) $ nằm trên (H) thì $tan\alpha = \frac{\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}}{x_2-x_1}=-\frac{1}{x_1.x_2} $, trong đó $\alpha $ là góc tạo bởi AB với trục hoành. Xét thêm hai điểm $C(x_3; \frac{1}{x_3}), D(x_4; \frac{1}{x_4}) $ thuộc (H) và khác A, B thì cũng tương tự góc tạo bởi CD với trục hoành là $-\frac{1}{x_3.x_4} $. Suy ra: AB vuông góc với CD khi và chỉ khi tích hệ số góc của chúng phải bằng -1 hay $\frac{1}{x_1.x_2.x_3.x_4}=-1 $ hay $x_1.x_2.x_3.x_4=-1 $. Các điều kiện trên là tương đương nên suy ra rằng nếu AB vuông góc với CD thì AC vuông góc với BD, BC vuông góc với AD. * Trở lại việc chứng minh bổ đề trên: gọi H là giao điểm của đường cao hạ từ A của tam giác ABC với hyperbol thì ta cũng có BH vuông góc với AC, CH vuông góc với AB. Suy ra H là trực tâm của tam giác tức là trực tâm của ABC thuộc (H) (đpcm).