hình học

[Nus_yanyan]

Cho 2 hbh ABCD và A'B'C'D' sắp xếp sao cho $B_{1} $thuộc cạnh AB,$D_{1} $thuộc cạnh AD.
CMR:các đường thẳng $DB_{1};BD_{1};CC_{1} $ đồng quy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

chỉnh lại cái đề bài đã

Cho 2 hbh ABCD và AB'C'D' sắp xếp sao cho B' thuộc cạnh AB, D' thuộc cạnh AD.
CMR:các đường thẳng $DB',CC',BD' $ đồng quy.

* bổ đề: cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, giả sử tồn tại $\alpha,\beta\in\mathbb{R} $ và I sao cho $\alpha+\beta\ne 0 $ và $\overrightarrow{AI}=\alpha \overrightarrow{AB}+\beta \overrightarrow{AC} $; khi đó AI cắt BC tại M thỏa mãn $ \alpha \overrightarrow{MB}+\beta \overrightarrow{MC}=\vec{0};\overrightarrow{AI}=(\ alpha +\beta)\overrightarrow{AM} $
*
đặt $\frac{AB'}{AB}=m,\frac{AD'}{AD}=n (0<m,n<1) $
gọi I là giao điểm BD' và DB'
ta có
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overright arrow{AD} $
$\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB'}+\overrig htarrow{AD'}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow {AD} $
$\frac{AD'}{AD}=n\Rightarrow \overrightarrow{D'A}=\frac{n}{n-1}\overrightarrow{D'D} \\ \Rightarrow \overrightarrow{BD'}=\frac{\overrightarrow{BA}-\frac{n}{n-1}\overrightarrow{BD}}{1-\frac{n}{n-1}}=\frac{1-n}{1-m}\overrightarrow{BB'}+n\overrightarrow{BD} \\ \Rightarrow \frac{1-n}{1-m}\overrightarrow{IB'}+n\overrightarrow{ID}=\vec{0 } \\ \Rightarrow \overrightarrow{IB'}=\frac{n(m-1)}{1-n}\overrightarrow{ID} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{\overrightarrow{AB'}+ \frac{n(m-1)}{n-1} \overrightarrow{AD}}{1+\frac{n(m-1)}{n-1}}=\frac{m(n-1)\overrightarrow{AB}+n(m-1)\overrightarrow{AD}}{mn-1} $
do đó
$\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AI}=\frac{1}{mn-1}\left ( (m-1)\overrightarrow{AB}+(n-1)\overrightarrow{AD} \right ) \\ \overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC'}=(1-m)\overrightarrow{AB}+(1-n)\overrightarrow{AD} $
suy ra I, C', C thẳng hàng (đpcm)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sonltv_94]

Gọi $E \equiv BC \cap D'C';G \equiv B'C' \cap DC;F \equiv BD \cap B'D';M;N;P $ lần lượt là trung điểm của $ED;BG;CF $ thì $M;N;P $ cũng lần lượt là trung điểm của $D'C;B'C;CF \Rightarrow M;N;P $ thẳng hàng.Áp dụng định lý Gauss.Ta thu được $F;E;G $ thẳng hàng.Áp dụng định lý Desargue cho 2 tam giác $\triangle B'D'C;\triangle BDC $ ta thu được điều phải chứng minh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]