Bài toán tam giác

[-->> π <<--]

Cho tam giác $ABC $ nhọn. $H $ là trực tâm, $AH=x,BH=y,CH=z $. CMR:

$abc=ayz+bxz+cxy $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Bài này có thể chứng minh bằng tọa độ hoặc lượng giác rất nhanh:
- Phương pháp toạ độ: Chọn A(0;a), B(-b, 0), C(c;0) với a, b, c >0. Điều kiện để tam giác này nhọn là: $AB^2+ AC^2 > BC^2 $ hay $2a^2+b^2+c^2>(b+c)^2 $ hay $a^2>bc $.
Viết PT đường cao góc B rồi tìm giao điểm của nó với trục tung, ta đựoc tọa độ trực tâm H. Tính khoảng cách HA, HB, HC rồi thay vào công thức biến đổi là xong.
- Phương pháp lượng giác:
Ta có: $HA=2R.cosA, BC = 2R.sinA \Rightarrow \frac{HA}{BC}=cotA $. Tương tự với các tỉ số còn lại.
Hơn nữa: $cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1 $ nên:
$\frac{HA}{BC}.\frac{HB}{CA}+\frac{HB}{CA}.\frac{HC }{AB}+\frac{HC}{AB}.\frac{HA}{BC}=1 $ quy đồng khử mẫu là có đpcm.
Việc chứng minh $\frac{HA}{BC}=cotA $ có thể thực hiện bằng cách gọi M là trung điểm BC, O là tâm đt ngoại tiếp. Từ HA = 2 OM, BC = 2MB và tỉ số lượng giác trong tam giác vuông OMB, ta cũng có kết quả này.

Tiếc là mình không tìm được một lời giải hình học thuần tuý hơn cho bài này!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[-->> π <<--]

Mình có 1 ý tưởng như sau:
Sử dụng công thức tính diện tích $S=\frac{abc}{4R} $
Việc còn lại là chứng minh bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC,AHB,BHC,CHA $ bằng nhau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi -->> π <<--

Việc còn lại là chứng minh bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC,AHB,BHC,CHA $ bằng nhau.

cm khá đơn giản:
C1:
ta CM được điểm đối xứng với H qua BC nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, từ đó suy ra đường tròn (HBC) và (ABC) đối xứng với nhau qua BC, do đó bán kính của chúng bằng nhau, tương tự cho các đường tròn (HCA) và (HAB)
C2:
áp dụng định lý sin, chú ý rằng $\sin\widehat{BHC}=\sin\widehat{BAC} $ (vì 2 góc bù nhau)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]