Tích vô hạn

mathsbc · 08-06-2008, 07:42 PM

1. Sự hội tụ của tích
a. Định nghĩa: Tích vô hạn $p_1p_2p_3...p_n...=\prod_{n=1}^{\infty}p_n(1) $ được gọi là hội tụ, nếu tồn tại giới hạn hữu hạn và khác không
$\lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^{n}=\lim_{n\to\infty} p_n=p. $

* Nếu p=0 và không một thừa số $p_n $ nào bằng không, thì tích (1) gọi là phân kỳ tới không; trong trường hợp ngược lại tích gọi là hội tụ về không.
b. Nhận xét: Sự hội tụ của tích (1) tương đương với sự hội tụ của chuỗi $\sum_{n=n_0}^{\infty}\ln p_n(2) $

2. Một số bài tập
a. Khảo sát sự hội tụ của các tích vô hạn sau
i) $\prod_{n=1}{\infty}(1+\frac{1}{n^p}) $
ii)$\prod_{n=1}^{\infty}(1+\frac{x^n}{n^p}_\cos\frac{x ^n}{n^q} $
b. Chứng minh đẳng thức sau
i)$\frac{\pi}{2}=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{2}{\sqrt{2+\ sqrt{2}}}\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}... $

08-06-2008, 07:42 PM	#1
mathsbc +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2008 Bài gởi: 18 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post	1. Sự hội tụ của tích a. Định nghĩa: Tích vô hạn $p_1p_2p_3...p_n...=\prod_{n=1}^{\infty}p_n(1) $ được gọi là hội tụ, nếu tồn tại giới hạn hữu hạn và khác không $\lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^{n}=\lim_{n\to\infty} p_n=p. $ * Nếu p=0 và không một thừa số $p_n $ nào bằng không, thì tích (1) gọi là phân kỳ tới không; trong trường hợp ngược lại tích gọi là hội tụ về không. b. Nhận xét: Sự hội tụ của tích (1) tương đương với sự hội tụ của chuỗi $\sum_{n=n_0}^{\infty}\ln p_n(2) $ 2. Một số bài tập a. Khảo sát sự hội tụ của các tích vô hạn sau i) $\prod_{n=1}{\infty}(1+\frac{1}{n^p}) $ ii)$\prod_{n=1}^{\infty}(1+\frac{x^n}{n^p}_\cos\frac{x ^n}{n^q} $ b. Chứng minh đẳng thức sau i)$\frac{\pi}{2}=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{2}{\sqrt{2+\ sqrt{2}}}\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}... $