Ánh xạ tuyến tính không liên tục có hạch đóng

[Lunar]

Cho $X$ là không gian Banach. Tìm ví dụ về ánh xạ tuyến tính, không liên tục $T:\,X\mapsto X$, sao cho $\text{Ker}(T)$ là đóng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi Lunar

Cho $X$ là không gian Banach. Tìm ví dụ về ánh xạ tuyến tính, không liên tục $T:\,X\mapsto X$, sao cho $\text{Ker}(T)$ là đóng

Thử nghiệm với $X= C^1([-1,1], \mathbb{R})$ với chuẩn thông thường.
Xét
$\begin{matrix}T: &X&\to &X\\
& f&\mapsto& Tf=f'(0).\end{matrix}$

Thí dụ này là thí dụ quen về ánh xạ tuyến tính không liên tục. Hơn nữa, thí dụ này cũng chứa đựng các thông tin sau:

• $X$ là không gian Banach,
• $KerT$ đóng.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mít đặc]

Toi thấy vd của bạn có vấn đề. Cái toán tử T của ban thực chất là phiếm hàm tt, nên nếu nó ko lt thì ker của nó ko thể đóng được,.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi Mít đặc

Toi thấy vd của bạn có vấn đề. Cái toán tử T của ban thực chất là phiếm hàm tt, nên nếu nó ko lt thì ker của nó ko thể đóng được,.

Trước khi mình kiểm tra một cách chi tiết. Mình muốn hỏi bạn: dựa vào đâu để dẫn ra phán đoán đó? Cảm ơn!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mít đặc]

Nguyên văn bởi Galois_vn

Trước khi mình kiểm tra một cách chi tiết. Mình muốn hỏi bạn: dựa vào đâu để dẫn ra phán đoán đó? Cảm ơn!

Tôi viết rất rõ ràng chứ có phán đoán gì đâu nhỉ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Rõ ràng:

• $T$ là ánh xạ tuyến tính và không bị chặn.
• $Ker T$ đóng.
• Tuy nhiên, $T$ không phải là ánh xạ mà chủ topic muốn tìm, $T: X \to X$. Thí dụ trên sai, $T: X \to \mathbb{R}$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mít đặc]

Nguyên văn bởi Galois_vn

Rõ ràng:

• $T$ là ánh xạ tuyến tính và không bị chặn.
• $Ker T$ đóng.
• Tuy nhiên, $T$ không phải là ánh xạ mà chủ topic muốn tìm, $T: X \to X$. Thí dụ trên sai, $T: X \to \mathbb{R}$.

Một số luôn có thể coi là hàm hằng, do đó co the coi T là ax từ X vào chính n -> sai ở một trong hai ý đầu tiên. Ban thu kiem tra lai xem T co bi chặn ko.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi Mít đặc

Một số luôn có thể coi là hàm hằng, do đó co the coi T là ax từ X vào chính n -> sai ở một trong hai ý đầu tiên. Ban thu kiem tra lai xem T co bi chặn ko.

$f\in C^{1}$, $f'(0)$ là 1 số thực không phải là một phần tử của $C^1$.

Nếu muốn như ý bạn thì phải thay đổi ánh xạ $T$ để thay đổi 1 chút để cho mọi thứ rõ ràng, $T(f)(t)= f'(0)$.

-----
Đây là một thí dụ về ánh xạ tuyến tính mà không liên tục.
Kiểm tra tính không bị chặn.

Chọn $f_{n}(t)= \sin{(nt)}$ là dãy hàm nằm trong $B(\mathbf{0},2) \subset C^1(...).$
Tuy nhiên, vì $Tf_n(0)= n$ nên $\{Tf_n\}$ không bị chặn. Và suy ra điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mít đặc]

Dãy sin(nt) không bị chặn trong $C^1[a,b]$ nên không nằm trong $B(0,2)$.
Ban chất T la phtt, nên ko thể vừa ko liên tục lai vừa có kernel đóng. Bạn sai ở chỗ đó, chứ việc coi T là ánh xạ từ $C^1[a,b]$ vào chính nó là chính xác, ko có gì sai cả. Thôi, tôi dừng ở đây.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi Mít đặc

Dãy sin(nt) không bị chặn trong $C^1[a,b]$ nên không nằm trong $B(0,2)$.
Ban chất T la phtt, nên ko thể vừa ko liên tục lai vừa có kernel đóng. Bạn sai ở chỗ đó, chứ việc coi T là ánh xạ từ $C^1[a,b]$ vào chính nó là chính xác, ko có gì sai cả. Thôi, tôi dừng ở đây.

Uhm, mình không để ý phần "đạo hàm" trong khi tính chuẩn!

Thí dụ trên có nhầm lẫn... phiên bản chính xác của nó chỉ ra một ánh xạ $T:X \to X$ là ánh xạ tuyến tính nhưng không liên tục. Tuy nhiên, rất tiếc, $X$ không là không gian Banach.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]